Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 13

Analytische Fortsetzung

Definition

Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbeauf einemtopologischen Raum ${}X$ . Es seien ${}P,Q\in X$ Punkte. Man sagt, dass die Keime ${}s\in {\mathcal {G}}_{P}$ und ${}t\in {\mathcal {G}}_{Q}$ miteinanderverbunden sind, wenn es eine zusammenhängendeoffene Teilmenge ${}P,Q\in U\subseteq X$ und einen Schnitt ${}r\in {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ mit ${}r_{P}=s$ und ${}r_{Q}=t$ gibt.

Bei ${}P=Q$ ist ein Keim nur mit sich selbst verbunden. Ohne die Voraussetzung zusammenhängend wären in einem Hausdorffraum je zwei Keime zu verschiedenen Punkten miteinander verbunden. Zu einem fixierten Keim ${}s\in {\mathcal {G}}_{P}$ und einem weiteren Punkt ${}Q\in X$ kann man sich fragen, ob ${}s$ mit einem Keim aus ${}{\mathcal {G}}_{Q}$ verbunden ist und, wenn ja, mit wie vielen. Im Folgenden interessieren uns für diese Fragen im Fall, wenn ${}{\mathcal {G}}$ die Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche ist. Die Verbundenheit ist keine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Keime, da man Schnitte auf offenen Mengen im Allgemeinen nicht auf die Vereinigung fortsetzen kann. Um dies zu erreichen, muss man Verbundenheiten aneinander legen.

Definition

Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbeauf einemtopologischen Raum ${}X$ . Es seien ${}P,Q\in X$ Punkte. Man sagt, dass die Keime ${}s\in {\mathcal {G}}_{P}$ und ${}t\in {\mathcal {G}}_{Q}$ miteinanderschrittweise verbunden sind, wenn es eine Punktkette ${}P=P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n-1},P_{n}=Q$ und Keime ${}s_{i}\in {\mathcal {G}}_{P_{i}}$ derart gibt, dass ${}s_{i-1}$ und ${}s_{i}$ für ${}i=1,\ldots ,n$ miteinanderverbundensind.

Auf einer Mannigfaltigkeit ist zusammenhängend das Gleiche wiewegzusammenhängend.Oft formuliert man daher die Fragen nach Verbundenheit und schrittweiser Verbundenheit entlang eines fixierten stetigen Weges, der ${}P$ und ${}Q$ verbindet.

Definition

Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbeauf einemtopologischen Raum ${}X$ . Es seien ${}P,Q\in X$ Punkte und

\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X

einstetiger Wegmit ${}\gamma (0)=P$ und ${}\gamma (1)=Q$ .Man sagt, dass die Keime ${}s\in {\mathcal {G}}_{P}$ und ${}t\in {\mathcal {G}}_{Q}$ längs ${}\gamma$ miteinanderverbunden sind, wenn es eine offene Teilmenge mit ${}\gamma ([0,1])\subseteq U\subseteq X$ und einen Schnitt ${}r\in {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ mit ${}r_{P}=s$ und ${}r_{Q}=t$ gibt.

Definition

Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbeauf einemtopologischen Raum ${}X$ . Es seien ${}P,Q\in X$ Punkte und

\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X

einstetiger Wegmit ${}\gamma (0)=P$ und ${}\gamma (1)=Q$ .Man sagt, dass die Keime ${}s\in {\mathcal {G}}_{P}$ und ${}t\in {\mathcal {G}}_{Q}$ längs ${}\gamma$ miteinanderschrittweise verbunden sind, wenn es Punkte ${}0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=1$ und Keime ${}s_{i}\in {\mathcal {G}}_{\gamma (t_{i})}$ derart gibt, dass ${}s_{0}=s$ , ${}s_{n}=t$ und ${}s_{i-1}$ und ${}s_{i}$ miteinander längs ${}\gamma _{i}:=\gamma {|}_{[t_{i-1},t_{i}]}$ verbundensind.

Bei der schrittweisen Verbundenheit gibt es zusammenhängende offene Mengen ${}U_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,n$ ,mit ${}\gamma ([t_{i-1},t_{i}])\subseteq U_{i}$ und Schnitte ${}r_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {G}}\right)}$ ,die auf die Keime an den Endpunkten einschränken. Da die ${}r_{i}$ und ${}r_{i+1}$ in den Übergangspunkten den gleichen Keim definieren, sind sie auf einer offenen Umgebung des Übergangspunktes überhaupt gleich. Das heißt aber nicht, dass sie überhaupt zu einem Schnitt über ${}U_{i}\cup U_{i+1}$ fortgesetzt werden können, da es ja auch einen nichtleeren Durchschnitt jenseits des Übergangspunktes geben kann, wie wenn ${}\gamma$ ein voller Kreisbogen ist, den man in den oberen und den unteren Bogen aufteilt. Insbesondere ist die Verbundenheit bei ${}x=y$ trivial, die schrittweise Verbundenheit aber nicht. Im holomorphen Kontext wird diese schrittweise Verbundenheit verwendet, um holomorphe Funktionskeime miteinander in Beziehung zu setzen.

Definition

Es sei ${}X$ eineriemannsche Flächeund sei ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ ein stetiger Wegmit ${}\gamma (0)=x$ und ${}\gamma (1)=y$ .Man sagt, dass ein holomorpher Funktionskeim ${}g\in {\mathcal {O}}_{X,y}$ aus einem holomorphen Funktionskeim ${}f\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ durch analytische Fortsetzunglängs ${}\gamma$ hervorgeht, wenn es Punkte ${}0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=1$ ,zusammenhängende offene Mengen ${}U_{i}\subseteq X$ mit ${}\gamma ([t_{i-1},t_{i}]\subseteq U_{i}$ undholomorphe Funktionen ${}f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ derart gibt, dass ${}f_{1}=f$ , ${}f_{n}=g$ und ${}f_{i}$ und ${}f_{i+1}$ in einer offenen Umgebung von ${}\gamma (t_{i})$ übereinstimmen.

Eine wichtige Beobachtung ist, dass wenn man mit verschiedenen stetigen Wegen von ${}x$ nach ${}y$ gelangt und wenn entlang beider Wege eine analytische Fortsetzung eines Keimes in ${}x$ möglich ist, das man dann keineswegs im gleichen Keim landen muss. Das folgende Beispiel ist typisch.

Beispiel

Wir betrachten dieriemannsche Fläche ${}X={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und den geschlossenen Weg

\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \left(\cos t,\,\sin t\right)

mit Anfangs- und Endpunkt ${}1$ . Zu jedem Punkt ${}a\in X$ besitzt die Quadratüberlagerung(siehe Beispiel 6.2)

X\longrightarrow X,\,w\longmapsto w^{2},

in einer lokalen offenen Umgebung von ${}a$ zwei Schnitte. Diese sind durch Potenzreihen mit Entwicklungspunkt ${}a$ der Form

\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}

gegeben, wobei

{}{\left(\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\right)}^{2}=z\,

und ${}c_{0}^{2}=a$ gilt. Wenn man ${}c_{0}$ mit dieser letzten Bedingung fixiert, wird dadurch die gesamte Potenzreihe festgelegt. Die andere erhält man durch Negation. Wir behaupten, dass im Punkt ${}1$ die beiden Potenzreihen der Wurzel durchanalytische Fortsetzunglängs ${}\gamma$ auseinander hervorgehen. Dies folgt daraus, dass zu jedem Punkt auf dem Einheitskreis durch den Funktionswert bereits die gesamte Potenzreihe der Quadratwurzel festgelegt ist. Wenn man in ${}1$ mit ${}c_{0}=1$ startet, so legt dies die Potenzreihe im Entwicklungspunkt ${}1$ mit einem gewissen Konvergenzradius(nämlich ${}1$ )fest. Auf den Punkten auf dem Einheitskreis innerhalb des Konvergenzradius wird dadurch der Wert festgelegt, nämlich durch die Halbierung des Winkels. Dieser Wert legt wiederum in diesen Punkten die Potenzreihen fest. So erhält man in den Punkten ${}1,{\mathrm {i} },-1,-{\mathrm {i} }$ zueinander passende Potenzreihen, deren Werte auf dem Einheitskreis durch die Halbierung des Winkels gegeben sind. Daher erhält man nach einer Volldrehung die Potenzreihe der Wurzel um ${}1$ mit dem Wert ${}-1$ .

Aufgrund dieses Phänomens, dass verschiedene Wege zu verschiedenen Fortsetzungen führen, sagt man manchmal, dass die komplexe Quadratwurzel(und viele andere Funktionen)eine mehrdeutige Funktion ist. Sie ist aber auf ${}{\mathbb {C} }$ oder auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ definitiv keine Funktion, sie kann nur auf gewissen offenen Teilmengen eindeutig definiert werden, diese Funktionen(Zweige) passen aber nicht zusammen. Eine naheliegende Frage ist es, ob man die riemannsche Fläche durch eine andere Fläche ersetzen kann, auf der die verschiedenen, durch analytische Fortsetzung entstandenen Zweige eine globale holomorphe Funktion definieren. Dies wird positiv inLemma 13.14beantwortet.

Lemma

Es sei ${}X$ eineriemannsche Flächeund sei ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ ein stetiger Wegmit ${}\gamma (0)=x$ und ${}\gamma (1)=y$ .Es seien ${}f_{1},f_{2}\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ und ${}g_{1},g_{2}\in {\mathcal {O}}_{X,y}$ holomorphe Funktionskeime,wobei ${}g_{1}$ aus ${}f_{1}$ und ${}g_{2}$ aus ${}f_{2}$ durch analytische Fortsetzunglängs ${}\gamma$ hervorgeht.

Dann geht auch ${}g_{1}+g_{2}$ aus ${}f_{1}+f_{2}$ und ${}g_{1}\cdot g_{2}$ aus ${}f_{1}\cdot f_{2}$ durch analytische Fortsetzung längs ${}\gamma$ hervor.

Beweis

Man kann zuerst zu einer gemeinsamen Verfeinerung der sukzessiven offenen Umgebungen übergehen. Beide Aussagen folgen, da man die Operationen auf den jeweiligen holomorphen Funktionen auf den ${}U_{i}$ ausführen kann.

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Bemerkung

Lemma 13.7ist nicht so zu verstehen, dass es zu einem gegebenen ${}\gamma$ einen Ringisomorphismus

{\mathcal {O}}_{X,x}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,y}

gibt, der die analytische Fortsetzung längs ${}\gamma$ beschreibt. Das Problem ist, dass man im Allgemeinen einen holomorphen Funktionskeim nicht entlang eines Weges fortsetzen kann. Dies geht insbesondere nicht für Potenzreihen, die im Schnittpunkt des Weges mit dem Rand ihres Konvergenzbereiches gegen unendlich streben.

Lemma

Es sei ${}X$ eineriemannsche Fläche,es seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ holomorphe Funktionenauf ${}X$ und sei ${}f$ einholomorpher Funktionskeimim Punkt ${}P\in X$ ,der im Halm ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$ die algebraische Relation

{}a_{n}f^{n}+a_{n-1}f^{n-1}+\cdots +a_{1}f+a_{0}=0\,

erfülle.

Dann erfüllt jede analytische Fortsetzung von ${}f$ ebenfalls diese Relation.

Beweis

Zu einem holomorphen Keim ${}g$ , der in einem Punkt ${}Q$ definiert ist und aus ${}f$ durch holomorphe Fortsetzung hervorgeht, gibt es insbesondere eine Kette von offenen zusammenhängenden Teilmengen ${}U_{1},\ldots ,U_{m}$ mit ${}P=P_{0}\in U_{1}$ ,mit Punkten ${}P_{i}\in U_{i}\cap U_{i+1}$ und ${}Q=P_{m}\in U_{m}$ .Es sei ${}f_{i}$ der Keim zum Punkt ${}P_{i}$ bei der analytischen Fortsetzung.Wenn ${}f_{i}$ die algebraische Gleichung im Halm zu ${}P_{i}$ erfüllt, dann auch in einer offenen Umgebung von ${}P_{i}$ und damit nach Satz 3.5auch auf ${}U_{i}$ und auf ${}U_{i+1}$ . Deshalb folgt die Aussage durch Induktion.

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Wir werden uns später mit der umgekehrten Frage beschäftigen, inwiefernholomorphe Funktionskeime in einem Punkt, die ein-und dieselbe algebraische Relation erfüllen, durch analytische Fortsetzung auseinander hervorgehen. Siehe insbesondereSatz 26.11.

Analytische Fortsetzung und der Ausbreitungsraum

Die analytische Fortsetzung lässt sich am besten mit dem Ausbreitungsraum zur Strukturgarbe verstehen.

Satz

Es sei ${}X$ eineriemannsche Flächemit demAusbreitungsraum ${}p\colon E\rightarrow X$ zur Strukturgarbe.Es sei

\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X

einstetiger Wegmit ${}\gamma (0)=x$ , ${}\gamma (1)=y$ und seien ${}f\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ und ${}g\in {\mathcal {O}}_{X,y}$ holomorphe Keimein den Endpunkten.

Genau dann ist ${}g$ eineanalytische Fortsetzungvon ${}f$ längs ${}\gamma$ , wenn es eineLiftung

${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow E$

zu ${}\gamma$ mit ${}(x,f),(y,g)\in E$ als Endpunkte gibt.

Beweis

Es gebe eine analytische Fortsetzung von ${}f$ nach ${}g$ . D.h. es gibt eine Intervallunterteilung

{}0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=1\,,

zusammenhängende offene Mengen ${}U_{i}\subseteq X$ mit ${}\gamma ([t_{i-1},t_{i}]\subseteq U_{i}$ undholomorphe Funktionen ${}f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ derart, dass ${}f_{1}=f$ , ${}f_{n}=g$ und ${}f_{i}$ und ${}f_{i+1}$ in einer offenen Umgebung von ${}\gamma (t_{i})$ übereinstimmen. Die zugehörigen offenen Mengen ${}(U_{i},f)\subseteq E$ bilden unter ${}p$ nachLemma 12.9homöomorph auf ${}U_{i}$ ab. Wir definieren die Liftung ${}{\tilde {\gamma }}$ durch

{}{\tilde {\gamma }}={\left(p{|}_{(U_{i},f_{i})}\right)}^{-1}\circ \gamma _{i}\,.

In einer offenen Umgebung von ${}\gamma (t_{i})$ (innerhalb von $U_{i}\cap U_{i+1}$ )stimmen ${}f_{i}$ und ${}f_{i+1}$ überein und daher stimmen darauf die stückweisen Liftungen überein.

Wenn umgekehrt eine Liftung ${}{\tilde {\gamma }}$ existiert, so wird die kompakte Bildkurve ${}{\tilde {\gamma }}([0,1])\subseteq E$ durch endlich viele offene Mengen der Form ${}(U_{i},f_{i})$ , ${}i=1,\ldots ,n$ ,mit

{}(U_{i},f_{i})\cap (U_{i+1},f_{i+1})\neq \emptyset \,

überdeckt. Diese Daten konstituieren eine analytische Fortsetzung.

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Korollar

Es sei ${}X$ eineriemannsche Flächemit demAusbreitungsraum ${}p\colon E\rightarrow X$ zurStrukturgarbe.Es seien ${}x,y\in X$ Punkte und seien ${}f\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ und ${}g\in {\mathcal {O}}_{X,y}$ holomorphe Keime.

Genau dann ist ${}g$ eineanalytische Fortsetzungvon ${}f$ (bezüglich irgendeines stetigen Weges),wenn ${}(x,f)$ und ${}(y,g)$ der gleichenZusammenhangskomponentevon ${}E$ angehören.

Beweis

Dies folgt direkt ausSatz 13.10und daraus, dass auf(wegenSatz 12.12)der Mannigfaltigkeit ${}E$ die Zusammenhangskomponenten wegzusammenhängendsind.

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Lemma

Es seien ${}X$ und ${}Y$ zusammenhängende riemannsche Flächenund sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung.Es sei ${}f$ eineholomorphe Funktionauf ${}Y$ und es seien ${}y_{1},y_{2}\in Y$ Punkte über ${}x_{1}$ bzw. ${}x_{2}$

Dann entstehen die holomorphen Funktionskeime ${}f_{i}\in {\mathcal {O}}_{X,x_{i}}$ die aus ${}f$ durch die induzierten Ringisomorphismen

$\theta _{i}\colon {\mathcal {O}}_{Y,y_{i}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,x_{i}}$

gestiftet werden, wechselseitig durchanalytische Fortsetzung.

Beweis

Es sei ${}{\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\rightarrow Y$ einstetiger Wegvon ${}{\tilde {\gamma }}(0)=y_{1}$ nach ${}{\tilde {\gamma }}(1)=y_{2}$ .Der Bildweg ${}\gamma =p\circ {\tilde {\gamma }}$ verbindet dann ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$ und längs dieses Weges kann man ${}f_{1}$ in ${}f_{2}$ überführen. Dazu wählt man eine Überdeckung von ${}{\tilde {\gamma }}([0,1])$ mit offenen Mengen, die unter ${}p$ homöomorph auf offene Mengen von ${}X$ abgebildet werden, wozu eine endliche Teilüberdeckung gehört.

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Korollar

Es seien ${}X$ und ${}Y$ zusammenhängende riemannsche Flächenund sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung.Es sei ${}f$ eineholomorphe Funktionauf ${}Y$ und es seien ${}y_{1},y_{2}\in Y$ Punkte über ${}x\in X$ .

Dann entstehen die holomorphen Funktionskeime ${}f_{1},f_{2}\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ die aus ${}f$ durch die induzierten Isomorphismen

$\theta _{i}\colon {\mathcal {O}}_{Y,y_{i}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}$

gestiftet werden, wechselseitig durchanalytische Fortsetzung.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall vonLemma 13.12.

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Lemma

Es sei ${}X$ eineriemannsche Fläche, ${}P\in X$ und ${}f\in {\mathcal {O}}_{X,P}$ einholomorpher Funktionskeim. Dann besitzt diejenigeZusammenhangskomponente ${}Z$ desAusbreitungsraumes ${}E$ zur Strukturgarbe,die den Punkt ${}(P,f)$ enthält, folgende Eigenschaften.

Es gibt eine holomorphe Funktion ${}g\colon Z\rightarrow {\mathbb {C} }$ ,die den Keim ${}f$ (aufgefasst in ${\mathcal {O}}_{Z,(P,f)}$ )fortsetzt.
Das Bild von
$Z\longrightarrow X$
besteht aus allen Punkten ${}Q\in X$ ,für die es eine analytische Fortsetzung von ${}f$ zu einem Keim in ${}Q$ gibt.

Beweis

Dies ergibt sich durch Einschränkung der holomorphen Auswertungsabbildung ausSatz 12.12auf ${}Z\subseteq E$ .
Dies folgt ausSatz 13.10.

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Beispiel

Wir betrachten dieriemannsche Fläche

{}X={\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}\,.

Zur komplexen Exponentialfunktion

\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }

gibt es lokal Umkehrfunktionen, die komplexe Logarithmen heißen. Die Existenz folgt ausdem Satz über die Umkehrabbildungoder aus der lokalen Existenz für Stammfunktionen zu ${}1/w$ . Auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ unterscheiden sich zwei Logarithmen um ein additives Vielfaches von ${}2\pi {\mathrm {i} }$ . Im Punkt ${}1$ ist die Potenzreihe

\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {1}{k}}(w-1)^{k}

die Taylorreihe eines Logarithmus mit Konvergenzradius ${}1$ . Diese Potenzreihe lässt sich auf einfach zusammenhängendes ${}U$ eindeutig fortsetzen, aber nicht auf ${}{\mathbb {C} }^{\times }$ . Die Fortsetzung auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\leq 0}$ nennt man auch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus.

NachKorollar 13.13(mit ${}f=z$ )gehen die verschiedenen Logarithmen in einem Punkt auseinander durch analytische Fortsetzung hervor. Mit jeder Umdrehung des Nullpunktes erreicht man eine Verschiebung des Logarithmus um ${}2\pi {\mathrm {i} }$ .

Beispiel

Wir betrachten dieriemannsche Fläche ${}X={\mathbb {C} }\setminus [0,1]$ ,es wird also das reelle abgeschlossene Einheitsintervall aus den komplexen Zahlen herausgenommen. Der Funktion ${}\ln z-\ln \left(z-1\right)$ kann man auf ${}X$ eine sinnvolle Bedeutung zuordnen. Es sei ${}a\in X$ fixiert. Man setzt

{}h(z):=\int _{a}^{z}{\frac {1}{w}}dw-\int _{a}^{z}{\frac {1}{w-1}}dw\,.

Dabei sind in den beiden Integralen die Integrationswege gleich zu wählen. Wenn man den Weg durch einen anderen Weg ersetzt, so ändern sich beide Wegintegrale um den gleichen Summanden, aber mit verschiedenem Vorzeichen, und die Summe bleibt gleich.

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