Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 12

Es sei${\displaystyle {}a\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle {}a\neq 0}$.Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {a}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} /(a)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.}$

Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

${\displaystyle 0\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} /(a),\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} \cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} \cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow E\cong \mathbb {Z} /(a)\longrightarrow 0}$

führt.

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}}$

eininjektiverGruppenhomomorphismusund

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{n}\,{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{m}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,D\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

die zugehörigekurze exakte Sequenz.Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(D,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{m},\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}}$

führt, wobei die Abbildung rechts nicht surjektiv sein muss.

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}}$

eininjektiverGruppenhomomorphismusund

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{n}\,{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{m}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,D\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

die zugehörigekurze exakte Sequenz,wobei ${\displaystyle {}D}$ endlich ist. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

${\displaystyle 0\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(D,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow E\longrightarrow 0}$

führt, wobei ${\displaystyle {}E}$ isomorphzu ${\displaystyle {}D}$ ist.

Es seien${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$Garben von kommutativen Gruppenauf einemtopologischen Raum${\displaystyle {}X}$ und sei

${\displaystyle \alpha \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}}$

einGarbenhomomorphismus.Zeige, dass ${\displaystyle {}\alpha }$ genau danninjektivist, wenn

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {F}}{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}}$

exaktist.

Es seien${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$Garben von kommutativen Gruppenauf einemtopologischen Raum${\displaystyle {}X}$ und sei

${\displaystyle \alpha \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}}$

einGarbenhomomorphismus.Zeige, dass ${\displaystyle {}\alpha }$ genau dannsurjektivist, wenn

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}\longrightarrow 0}$

exaktist.

Es sei

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

einekurze exakte Sequenzvon kommutativentopologischen Gruppen(mit stetigen Gruppenhomomorphismen).Es trage ${\displaystyle {}F}$ die induzierte Topologievon ${\displaystyle {}G}$ und die Surjektion ${\displaystyle {}p\colon G\rightarrow H}$habe die Eigenschaft, dass es zu jedem Element${\displaystyle {}h\in H}$eine offene Umgebung${\displaystyle {}h\in W\subseteq H}$und einen stetigen Schnittzu ${\displaystyle {}p}$ gibt. Zeige, dass dann für jedentopologischen Raum${\displaystyle {}X}$ die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen, also

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,H)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,}$

ebenfallsexakt.

Es seien${\displaystyle {}F}$ und ${\displaystyle {}H}$kommutativetopologische Gruppenund es sei${\displaystyle {}G=F\times H}$ihre Produktgruppe(versehen mit der Produkttopologie)und es sei

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass zu jedem topologischen Raum${\displaystyle {}X}$ eine kurze exakte Garbensequenz

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,H)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

vorliegt, für die die globale Auswertung hinten stets surjektiv ist.

Zeige, dass einekurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} 2\pi \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {R} \,{\stackrel {p}{\longrightarrow }}\,S^{1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

von topologischen Gruppenmit${\displaystyle {}p(t)=\left(\cos t,\,\sin t\right)}$vorliegt. Wende daraufLemma 12.2an.

Es sei

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

einekurze exakte Sequenzvon kommutativenGruppen,die wir alle mit derdiskreten Topologieversehen. Zeige, dass dann für jedentopologischen Raum${\displaystyle {}X}$ die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen(also die lokal konstanten Abbildungen), also

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,H)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,}$

ebenfallsexakt.Zeige ferner, dass in diesem Fall für jede offenen Teilmenge${\displaystyle {}U\subseteq X}$die Sequenz

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(U,F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(U,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(U,H)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,}$

exakt ist.

InterpretiereAufgabe 12.9für die kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {\exp }{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

und einentopologischen Raum${\displaystyle {}X}$.

Es sei${\displaystyle {}X=\{P\}}$ein einpunktigertopologischer Raumund sei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ eineGarbeauf ${\displaystyle {}X}$. Bestimme denAusbreitungsraumzu ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$.

Zeige, dass derAusbreitungsraumzurGarbeder stetigenreellwertigen Funktionenauf ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ keinHausdorffraumist.

Es sei ${\displaystyle {}D}$ einediskretekommutative Gruppe,es sei ${\displaystyle {}X}$ einlokal zusammenhängendertopologischer Raumund sei

${\displaystyle {}{\mathcal {G}}=C^{0}(-,D)\,}$

die Garbe der stetigen Funktion auf ${\displaystyle {}X}$ mit Werten in ${\displaystyle {}D}$. Zeige, dass der Ausbreitungsraumzu ${\displaystyle {}D}$ eine trivialeÜberlagerungmit der Faser ${\displaystyle {}D}$ ist.

Es sei${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$eine Überlagerungund ${\displaystyle {}X}$ lokal zusammenhängend.Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ dieGarbe der stetigen Schnittein ${\displaystyle {}Y}$ auf ${\displaystyle {}X}$. Zeige, dass der Ausbreitungsraumzu ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ mit ${\displaystyle {}Y}$ übereinstimmt.

Es sei${\displaystyle {}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}}$eine Untergarbe.Zeige, dass der Ausbreitungsraum${\displaystyle {}E}$ zu ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ in natürlicher Weise einUnterraumdes Ausbreitungsraumes ${\displaystyle {}E'}$ von ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ ist.

Zeige, dass der AusbreitungsraumzurGarbederholomorphen Funktionenauf einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ keineÜberlagerungist.