Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 11

Es seien${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$Garbenauf demtopologischen Raum${\displaystyle {}X}$. Zeige, dass durch ${\displaystyle {}U\mapsto {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\times {\mathcal {G}}{\left(U\right)}}$ mit den natürlichenProduktabbildungeneine Garbe auf ${\displaystyle {}X}$ gegeben ist.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ eineGarbeauf einem nichtzusammenhängenden Raum${\displaystyle {}X}$ mit einer Zerlegung${\displaystyle {}X=U\uplus V}$indisjunktenichtleere offene Mengen. Zeige${\displaystyle {}{\mathcal {G}}{\left(X\right)}={\mathcal {G}}{\left(U\right)}\times {\mathcal {G}}{\left(V\right)}}$.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raummit einer Zerlegung${\displaystyle {}X=Y\uplus Z}$in disjunkte offene nichtleere Teilmengen. Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ eineGarbeauf ${\displaystyle {}Y}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {H}}}$ eine Garbe auf ${\displaystyle {}Z}$. Zeige, dass durch

${\displaystyle {}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}={\mathcal {G}}{\left(U\cap Y\right)}\times {\mathcal {H}}{\left(U\cap Z\right)}\,}$

für${\displaystyle {}U\subseteq X}$eine Garbe auf ${\displaystyle {}X}$ definiert ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einHausdorffraummit zumindest zwei Punkten und es sei${\displaystyle {}M\neq \emptyset }$.eine Menge. Zeige, dass die konstante Prägarbezu ${\displaystyle {}M}$ keineGarbeist.

Zeige, dass die Einschränkung einerGarbeauf eineoffene Teilmenge${\displaystyle {}U\subseteq X}$eine Garbe ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein topologischer Raum,${\displaystyle {}P\in X}$ein Punkt und ${\displaystyle {}G}$ eine kommutative Gruppe.Wir betrachten die Zuordnung

${\displaystyle U\longmapsto {\mathcal {G}}{\left(U\right)}:={\begin{cases}G\,,{\text{ falls }}P\in U\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}}$

mit den naheliegenden Restriktionsabbildungen zu offenen Teilmengen${\displaystyle {}V\subseteq U}$.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}{\left(U\right)}}$ eineGarbe von kommutativen Gruppenist.
2. Bestimme denHalmvon ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ im Punkt ${\displaystyle {}P}$.
3. Es sei nun ${\displaystyle {}P}$ ein abgeschlossener Punkt. Besitmme die Halm für jeden Punkt${\displaystyle {}Q\neq P}$.

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$einGarbenmorphismuszwischen Garbenauf einem topologischen Raum${\displaystyle {}X}$ und es sei${\displaystyle {}\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\rightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}}$surjektivfür jede offene Menge${\displaystyle {}U\subseteq X}$.Zeige, dass dann auch jedeHalmabbildung${\displaystyle {}\varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\rightarrow {\mathcal {G}}_{P}}$surjektiv ist.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ eineGarbe von kommutativen Gruppenauf einemtopologischen Raum${\displaystyle {}X}$. Zeige${\displaystyle {}{\mathcal {G}}{\left(\emptyset \right)}=0}$,also die triviale Gruppe ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raumund ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ einePrägarbeauf ${\displaystyle {}X}$. Zeige, dass durch die Zuordnung

${\displaystyle U\mapsto \prod _{P\in U}{\mathcal {F}}_{P}}$

(die Produktmenge aus allenHalmenzu ${\displaystyle {}U}$)mit den natürlichen Projektionen eine Prägarbe gegeben ist, und dass es einen natürlichenPrägarbenhomomorphismusvon ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ in diese Prägarbe gibt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raum,${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ eineGarbeauf ${\displaystyle {}X}$ und${\displaystyle {}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}}$eineUntergarbe.Es sei${\displaystyle {}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}}$mit${\displaystyle {}t_{P}\in {\mathcal {F}}_{P}}$für alle${\displaystyle {}P\in X}$.Zeige${\displaystyle {}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}}$.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Flächeund${\displaystyle {}P\in X}$ein Punkt. Wir definieren zu einer offenen Menge${\displaystyle {}U\subseteq X}$

${\displaystyle {}{\mathcal {I}}(U):={\left\{f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\mid f(P)=0,{\text{ falls }}P\in U\right\}}\,.}$

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathcal {I}}}$ eineUntergarbevon kommutativen Gruppender Strukturgarbe der holomorphen Funktionenauf ${\displaystyle {}X}$ ist.
2. Zeige, dass zu${\displaystyle {}g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$und${\displaystyle {}f\in {\mathcal {I}}{\left(U\right)}}$auch${\displaystyle {}fg\in {\mathcal {I}}{\left(U\right)}}$ist.
3. Zeige, dass für dieHalme

   ${\displaystyle {}{\mathcal {I}}_{Q}={\mathcal {O}}_{X,Q}\,}$

   für alle Punkte${\displaystyle {}Q\neq P}$gilt.

4. Zeige, dass

   ${\displaystyle {}{\mathcal {I}}_{P}\subseteq {\mathcal {O}}_{X,P}={\mathbb {C} }\{\{Z\}\}\,}$

   gleich dem von der Variablen ${\displaystyle {}Z}$ erzeugten Ideal im Ring der konvergenten Potenzreihen ist (vergleiche Lemma 10.12).

5. Es sei ${\displaystyle {}X}$ nunkompaktundzusammenhängend.Bestimme ${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}}$.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raumund es sei${\displaystyle {}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$einHomomorphismusvonGarbenvonkommutativen Gruppen.Zeige, dass durch${\displaystyle {}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}(U):=\operatorname {kern} \varphi _{U}}$eine Garbe von Gruppen auf ${\displaystyle {}X}$ definiert ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raumund es sei${\displaystyle {}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$einHomomorphismusvonGarbenvonkommutativen Gruppen.Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ genau danninjektivist, wenn ${\displaystyle {}\operatorname {kern} \varphi }$ die Nullgarbe ist.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ einekonstante Prägarbeauf einemtopologischen Raum${\displaystyle {}X}$ zur Menge ${\displaystyle {}M}$. Zeige, dass derHalmderVergarbungvon ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ in jedem Punkt${\displaystyle {}P\in X}$gleich ${\displaystyle {}M}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ einediskretetopologische Gruppeund ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raum.Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ diekonstante Prägarbeauf ${\displaystyle {}X}$ zu ${\displaystyle {}G}$. Zeige, dass dieVergarbungvon ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ gleich ${\displaystyle {}C^{0}(-,G)}$ ist.

Zeige, dass auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ die folgenden Prägarbenverschieden sind.

1. Die Prägarbe der konstanten Funktionen mit Werten in ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$.
2. Die Garbe der lokal-konstanten Funktionen mit Werten in ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$.
3. Die Garbe der stetigen Funktionen mit Werten in ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$.

Es sei eineGarbe${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ vonkommutativen Gruppenund eineUntergarbevon Gruppen${\displaystyle {}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}}$gegeben, und es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}}$ dieQuotientengarbe.Zeige

${\displaystyle {}{\left({\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}_{P}={\mathcal {G}}_{P}/{\mathcal {F}}_{P}\,}$

für jeden Punkt${\displaystyle {}P\in X}$.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ eineGarbevonkommutativen Gruppenund ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}}$einerUntergarbevon Gruppen mit der Quotientengarbe${\displaystyle {}{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Jedes Element${\displaystyle {}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}}$wird repräsentiert durch eine Familie${\displaystyle {}(U_{i},g_{i})}$, ${\displaystyle {}i\in I}$,wobei${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}}$ eine offene Überdeckung ist und${\displaystyle {}g_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {G}}\right)}}$Schnitte sind mit

   ${\displaystyle {}g_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}-g_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,,}$

   und jede solche Familie liegt ein Element in ${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}}$ fest.

2. Zwei solche Familien${\displaystyle {}(U_{i},g_{i})}$ ${\displaystyle {}(U_{i},h_{i})}$(also zur gleichen Überdeckung)definieren genau dann das gleiche Element in ${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}}$, wenn

   ${\displaystyle {}g_{i}-h_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {F}}\right)}\,}$

   für alle ${\displaystyle {}i}$ ist.

3. Zwei Familien${\displaystyle {}(U_{i},g_{i})}$ und ${\displaystyle {}(V_{j},h_{j})}$definieren genau dann das gleiche Element in ${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}}$, wenn auf einer(jeder)gemeinsamen Verfeinerung der beiden Überdeckungen die Differenzen zu ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ gehören.

Es sei eineGarbe${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ vonkommutativen Gruppenund eineUntergarbevon Gruppen${\displaystyle {}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}}$gegeben. Zeige, dass es einen kanonischensurjektivenGarbenhomomorphismus von kommutativen Gruppen

${\displaystyle {\mathcal {G}}\longrightarrow {\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}}$

gibt.

Es sei${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$einreelles Intervall.Wir betrachten die kurze exakte Garbensequenz

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,\mathbb {R} )\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}/C^{0}(-,\mathbb {R} )\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

auf ${\displaystyle {}I}$. Es sei${\displaystyle {}I=U\cup V}$eine Überdeckung mit(in ${\displaystyle {}I}$)offenen Intervallen und es sei ein globaler Schnitt in der Quotientengarbe${\displaystyle {}\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}/C^{0}(-,\mathbb {R} )}$ gegeben, der durch Schnitte${\displaystyle {}s\in \operatorname {Abb} \,{\left(U,\mathbb {R} \right)}}$ und ${\displaystyle {}t\in \operatorname {Abb} \,{\left(V,\mathbb {R} \right)}}$repräsentiert werde. Zeige, dass dieser Schnitt durch eine Abbildung${\displaystyle {}r\in \operatorname {Abb} \,{\left(I,\mathbb {R} \right)}}$repräsentiert wird.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche,${\displaystyle {}P\in X}$ein Punkt und sei ${\displaystyle {}{\mathcal {I}}}$ die in Aufgabe 11.11konstruierteUntergarbeder Strukturgarbe ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}}$. Bestimme dieQuotientengarbe${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}$.

Es sei${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$fixiert, wir betrachten das komplexe Potenzieren

${\displaystyle {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,z\longmapsto z^{n},}$

das einGruppenhomomorphismusbezüglich der multiplikativen Gruppe ist und dessen Kern die Gruppe ${\displaystyle {}E_{n}}$ der ${\displaystyle {}n}$-tenEinheitswurzelnist. NachBeispiel 6.2ist die Abbildung ferner eineÜberlagerungist. Definiere auf einer riemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ analog zuBeispiel 11.14eineGarbenversionzu diesen Gruppen und Gruppenhomomorphismen.