Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 2

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine Körpererweiterung. Zeige, dass ${\displaystyle {}L}$ ein${\displaystyle {}K}$-Vektorraumist.

Bestimme den Grad der Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }}$.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche Körpererweiterung vomGrad${\displaystyle {}1}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}L=K}$ ist.

Berechne im Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]}$ das Produkt

${\displaystyle (-2+{\sqrt {7}})\cdot (4-{\sqrt {7}}).}$

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]}$ das Inverse von ${\displaystyle {}2+5{\sqrt {7}}}$.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung und seien ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}\in L}$ Elemente, die eine${\displaystyle {}K}$-Basis von ${\displaystyle {}L}$ bilden. Sei${\displaystyle {}x\in L}$, ${\displaystyle {}x\neq 0}$.Zeige, dass auch ${\displaystyle {}xv_{1},\ldots ,xv_{n}\in L}$ eine ${\displaystyle {}K}$-Basis von ${\displaystyle {}L}$ bilden.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper mit einerCharakteristik ${\displaystyle {}\neq 2}$ und es sei ${\displaystyle {}K\subset L}$ einequadratische Körpererweiterung.Zeige, dass es dann ein${\displaystyle {}x\in L}$, ${\displaystyle {}x\notin K}$,mit ${\displaystyle {}x^{2}\in K}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}X^{3}+pX+q\in \mathbb {Q} [X]}$ und es seien ${\displaystyle {}\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\in {\mathbb {C} }}$ die Nullstellen dieses Polynoms. Konstruiere unter Bezug auf dieFormel von Cardanoeine Kette

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq L\subseteq M\,}$

vonendlichen Körpererweiterungenvon „möglichst kleinem“ Grad,so dass ${\displaystyle {}M}$ alle Nullstellen und alle „Hilfszahlen“, die in dieser Formel auftreten, enthält. Welche Grade können dabei auftreten?

Es sei${\displaystyle {}{\mathbb {C} }\subseteq L}$eineendliche Körpererweiterung.Zeige${\displaystyle {}{\mathbb {C} }=L}$.

Zeige, dass dieKörpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} }$ nichtendlich ist.

Zeige, dass die Menge der rationalen Funktionen über ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ einen Körper bildet.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ und sei ${\displaystyle {}M}$ die Menge der ${\displaystyle {}n}$-tenEinheitswurzeln in ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ eineUntergruppe der Einheitengruppe ${\displaystyle {}K^{\times }}$ ist.

Bestimme die Lösungen der Gleichung

${\displaystyle {}x^{3}-3x+1=0\,}$

mitder Cardanoschen Formelund drücke diese Lösungen mit Hilfe der neunten primitiven komplexen Einheitswurzel aus.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper, ${\displaystyle {}a\in K}$ und ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${\displaystyle {}b_{1},b_{2}\in K}$ zwei Lösungen der Gleichung ${\displaystyle {}X^{n}=a}$ sind und ${\displaystyle {}b_{2}\neq 0}$, so ist ihr Quotient ${\displaystyle {}b_{1}/b_{2}}$ eine ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel.
2. Wenn ${\displaystyle {}b\in K}$ eine Lösung der Gleichung ${\displaystyle {}X^{n}=a}$ und ${\displaystyle {}\zeta }$ eine ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel ist, so ist auch ${\displaystyle {}\zeta b}$ eine Lösung der Gleichung ${\displaystyle {}X^{n}=a}$.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq \mathbb {R} }$ einUnterkörper.Zeige, dass dann auch ${\displaystyle {}K[{\mathrm {i} }]}$ ein Unterkörper von ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ ist.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {11}}]}$ das Inverse von ${\displaystyle {}3+5{\sqrt {11}}}$.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{n}\in L}$ eine${\displaystyle {}K}$-Basis von ${\displaystyle {}L}$. Zeige, dass die Multiplikation auf ${\displaystyle {}L}$ durch die Produkte

${\displaystyle x_{i}x_{j},1\leq i\leq j\leq n,}$

eindeutig festgelegt ist.

Es seien${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K\subset {\mathbb {C} }}$ und ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L\subset {\mathbb {C} }}$zweiendliche Körpererweiterungenvon ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ vom Grad${\displaystyle {}d}$ bzw. ${\displaystyle {}e}$. Es seien${\displaystyle {}d}$ und ${\displaystyle {}e}$teilerfremd.Zeige, dass dann

${\displaystyle K\cap L=\mathbb {Q} }$

ist.

Zeige, dass man ${\displaystyle {}{\sqrt {3}}}$ nicht als${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Linearkombination von${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}}$schreiben kann.

Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$.

Zeige, dass die Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} (X)}$, wobei ${\displaystyle {}\mathbb {R} (X)}$ denKörper der rationalen Funktionenbezeichnet, nichtendlichist.