Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 3

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine Körpererweiterung und es sei ${\displaystyle {}a\in L}$. Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

${\displaystyle \psi \colon K[X]\longrightarrow L,\,P\longmapsto P(a),}$

folgende Eigenschaften erfüllt(dabei seien ${\displaystyle P,Q\in K[X]}$).

1. ${\displaystyle {}(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)}$,
2. ${\displaystyle {}(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)}$,
3. ${\displaystyle {}1(a)=1}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper,${\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow V}$einEndomorphismusauf einem endlichdimensionalen${\displaystyle {}K}$-Vektorraumund

${\displaystyle K[X]\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left(V\right)},\,P\longmapsto P(\varphi ),}$

der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Vergleiche diese Situation mit dem durch ein Element ${\displaystyle {}a\in L}$ zu einer Körpererweiterung${\displaystyle {}K\subseteq L}$gegebenen Einsetzungshomomorphismus ${\displaystyle {}P\mapsto P(a)}$.

Zeige, dass einUnterringeinesKörperseinIntegritätsbereichist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ring und seien ${\displaystyle {}f,g}$Nichtnullteilerin ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass das Produkt ${\displaystyle {}fg}$ ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. Zu jedem ${\displaystyle {}f\in R}$ sei

${\displaystyle \mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,}$

die Multiplikation mit ${\displaystyle {}f}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\mu _{f}}$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ring und${\displaystyle {}f\in R}$. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

${\displaystyle \mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,}$

wann ${\displaystyle {}f}$ ein Nichtnullteilerund wann ${\displaystyle {}f}$ eine Einheitist.

Bestimme dieEinheitenvon ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ und von ${\displaystyle {}K[X]}$, wobei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper sei.

Zeige, dass${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} }$eineUntergruppe,aber keinIdealist.

Zeige, dass ein kommutativer Ringgenau dann ein Körperist, wenn er genau zwei Idealeenthält.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}f_{j}}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, eine Familie von Elementen in ${\displaystyle {}R}$. Es sei angenommen, dass die ${\displaystyle {}f_{j}}$ zusammen das Einheitsideal erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie ${\displaystyle {}f_{j}}$, ${\displaystyle {}j\in J_{0}\subseteq J}$ gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ringund sei

${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots }$

eine aufsteigende Kette von Idealen.Zeige, dass die Vereinigung${\displaystyle {}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}}$ ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einIntegritätsbereichund${\displaystyle {}p\in R}$, ${\displaystyle {}p\neq 0}$.Zeige, dass ${\displaystyle {}p}$ genau dann irreduzibelist, wenn es genau zwei Hauptidealeoberhalb von ${\displaystyle {}(p)}$ gibt, nämlich ${\displaystyle {}(p)}$ selbst und ${\displaystyle {}(1)=R}$.

Beweise die Formel

${\displaystyle {}X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\cdots +X^{2}-X+1\right)}\,}$

für ${\displaystyle {}u}$ ungerade.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass ein Polynom vomGradzwei oder drei genau dannirreduzibelist, wenn es keine Nullstelle in ${\displaystyle {}K}$ besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}F\in \mathbb {Q} [X]}$ einirreduzibles Polynomvom Grad ${\displaystyle {}3}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}F}$ entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.

Zeige, dass das Polynom

${\displaystyle X^{3}-3X+1}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ irreduzibelist.

Zeige, dass das Polynom

${\displaystyle X^{3}-3X-1}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ irreduzibelist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und sei ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren)eindeutige Produktdarstellung

${\displaystyle F=aF_{1}\cdots F_{r}}$

mit ${\displaystyle {}a\in K^{\times }}$ undirreduziblennormierten Polynomen${\displaystyle {}F_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,r}$,gibt.

Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ und der Polynomring in zwei Variablen ${\displaystyle {}K[X,Y]}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ keine Hauptidealbereiche sind.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}p\in R}$ einPrimelement.Zeige, dass ${\displaystyle {}p}$ auch im Polynomring ${\displaystyle {}R[X]}$ prim ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einalgebraisch abgeschlossener Körper.Bestimme in ${\displaystyle {}K[X]}$ dieirreduziblen Polynome.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduziblePolynome in ${\displaystyle {}K[X]}$ gibt.

Es sei${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} [X]}$ einnichtkonstantesPolynommit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man ${\displaystyle {}P}$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad${\displaystyle {}1}$ oder ${\displaystyle {}2}$schreiben kann.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einIntegritätsbereich.Zeige, dass man auf folgende Weise einenKörper ${\displaystyle {}K}$ konstruieren kann, der ${\displaystyle {}R}$ enthält.

Wir betrachten auf

${\displaystyle M=R\times (R\setminus {\{0\}})}$

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,}$

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Definiere auf der Quotientenmenge ${\displaystyle {}Q(R)}$ Verknüpfungen derart, dass ${\displaystyle {}Q(R)}$ zu einem Körper wird und dass

${\displaystyle \varphi \colon R\longrightarrow Q(R),\,r\longmapsto [(r,1)],}$

${\displaystyle {}\varphi (1)=1}$