Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 1



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Löse die quadratische Gleichungüber .


Aufgabe

Bestätige folgende Aussagen.

  1. Die dritten Einheitswurzeln in sind und .
  2. Es ist und .
  3. Es ist .
  4. Es ist .


Aufgabe

Eliminiere in der kubischen Gleichung

den quadratischen Term.


Aufgabe *

Eliminiere in der kubischen Gleichung

den quadratischen Term.


Aufgabe

Finde die Nullstellen des Polynoms

ohne die Formeln von Cardano.


Aufgabe *

Zeige, dass

eine Nullstelle des Polynoms

ist.


Aufgabe

Finde die Lösungen der kubischen Gleichung

()direkt und mit Hilfe derFormel von Cardano.


Aufgabe *

Zeige, dass

eine Nullstelle des Polynoms

ist.


Aufgabe *

Bestimme eine reelle Lösung der Gleichung

mitder Cardanoschen Formel.


Aufgabe

Bestimme die Lösungen der Gleichung

mitder Cardanoschen Formel.


Aufgabe

Bestimme die komplexen Eigenwerteder Matrix


Aufgabe

Löse die biquadratische Gleichungüber .


Aufgabe *

Es sei

  1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von .
  2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ?


Aufgabe

Es sei einePrimzahl.Zeige unter Verwendung dereindeutigen Primfaktorzerlegungvon natürlichen Zahlen, dass diereelle Zahl irrationalist.


Aufgabe

Führe in dieDivision mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe

Es sei eine kubische Gleichung mit . Eliminiere den linearen Term. Ist dies stets über möglich?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine polynomiale Gleichung mit, .

Zeige, dass es eine äquivalente polynomiale Gleichung der Form
gibt.


Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Gleichung

mit derCardanoschen Formel.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Lösungen der polynomialen Gleichung


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass nicht endlich sein kann.


In der nächsten Aufgabe soll über dem Körper ausBeispiel 1.7gerechnet werden.

Aufgabe (4 Punkte)

Führe in dieDivision mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.



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