恆真式(tautology)又称为套套邏輯、恆真句、恆真式或重言式等。
恆真式是指在任何解釋下皆為真的命題,例如经典逻辑中的、、或“A=B,B=C,则A=C”。
命題邏輯上,如某式為一連串命題變項的組合,將每個命題變項分別代入真、假,運算結果總是為真,則該式為一恆真式。
恆真式有無限多種,以下為常見例子:
命題邏輯上證明恆真式的方式之一是代入真值表,對於有n個變項的式子,總共會有2n種組合。因此有時會非常複雜。
例如以下式子:
可將 、 、 分別以真或假代入,然後根據規則算出各子式的真假值,最後算出整個式子真假值:
T | T | T | T | T | T | T | T |
T | T | F | T | F | F | F | T |
T | F | T | F | T | T | T | T |
T | F | F | F | T | T | T | T |
F | T | T | F | T | T | T | T |
F | T | F | F | T | F | T | T |
F | F | T | F | T | T | T | T |
F | F | F | F | T | T | T | T |
由於每一列的最後運算結果皆為「真」(T),故此式為恆真式。
另外一些方式是用語法方式如自然演繹法等從空集合中證明出恆真句。
如果所有讓 為真的命題賦值情況下 也都會為真,則稱 恆真蘊涵(恆蘊涵) ,可記為 ,這相當於恆真式 。
假設 為 ,而 是 。此時 不是恆真式,因為 為假時 為假;但 ,因為一切使 為真的情況都會使 為真,而一切使 為真的情況都會使 為真。
根據定義,如果 為矛盾(恆假)命題,則 恆蘊涵 ,因為沒有任何情況可使 為真,而當 為假時條件式 總是為真。
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