Nhóm Con

Trong trường hợp nó là một nhóm, nó được gọi là nhóm con của G.

Cho một nhóm G với phép toán hai ngôi *, và tập con H của G. H được gọi là nhóm con của G nếu chính H là một nhóm với phép toán * của G.

Cho tập con H của nhóm G. Các mệnh đề sau là tương đương:

1. H là nhóm con của G;
2. Với mọi a, b ${\displaystyle \in }$  H ta có ${\displaystyle a*b\in H}$  và ${\displaystyle a^{-1}\in H}$ ;
3. Với mọi a, b ${\displaystyle \in }$  H ta có ${\displaystyle a*b^{-1}\in H}$ ;

• Cho G là một nhóm với phép toán * và phần tử đơn vị 1.

1. Chính G là một nhóm con của G
2. Tập con gồm một phần tử đơn vị {1} của G là một nhóm con của G (gọi là nhóm con tầm thường).
3. Giao của một họ bất kỳ các nhóm con của G là một nhóm con của G.
4. Nếu a ${\displaystyle \in }$  G thì tập H các phần tử là luỹ thừa của phần tử a

H=${\displaystyle \left\{a^{n}|n\in \mathbb {Z} \right\}}$ 
là một nhóm con của G.

Nhóm con sinh bởi một tập con

• Cho A là tập con của G. Nhóm con nhỏ nhất H của G chứa A được gọi là nhóm con sinh bởi A. Nếu H=G ta nói A là tập sinh của G.
• Nếu nhóm G sinh bởi một tập con có một phần tử {a} thì G được gọi là nhóm cyclic, phần tử a được gọi là phần tử sinh của G

Các nhóm cyclic hữu hạn có nhiều ứng dụng trong lý thuyết mật mã.

Các ví dụ

• Xét tập các số nguyên ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  như một nhóm với phép cộng.

1. Nhóm con sinh bởi tập hợp gồm một số nguyên k là {x.k | x ${\displaystyle \in \mathbb {Z} }$  }
2. Nhóm con sinh bởi tập m số nguyên ${\displaystyle \left\{k_{1},k_{2},...,k_{m}\right\}}$ 

là tập ${\displaystyle \left\{k_{1}\cdot x_{1}+k_{2}\cdot x_{2}+...+k_{m}\cdot x_{m}\right\}}$ 

• Xét nhóm cộng theo modulo 6 các số tự nhiên nhỏ hơn 6.

${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{6}=\{0,1,2,3,4,5\}}$ 

Ta có các nhóm con sinh bởi các phần tử 2,3 là:

${\displaystyle \left\langle \;2\;\right\rangle }$ = ${\displaystyle \{0,\;2\;,4\}}$ 
${\displaystyle \left\langle \;3\;\right\rangle }$ = ${\displaystyle \{0,\;3\;\}}$ 

• Xét tập các số tự nhiên nhỏ hơn 12 và nguyên tố với 12:

${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{12}^{*}}$ ={ 1, 5, 7, 11}
với phép nhân modulo 12. Ta có bảng nhân sau:

Ta có các nhóm con của nhóm nhân ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{12}^{*}}$  sau:

1. Nhóm con { 1} sinh bởi phần tử 1
2. Nhóm con { 1, 5} sinh bởi phần tử 5
3. Nhóm con { 1, 7} sinh bởi phần tử 7
4. Nhóm con { 1, 11} sinh bởi phần tử 11
5. Các nhóm con chứa nhiều hơn một phần tử khác 1 đều trùng với chính ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{12}^{*}}$ 

Nhóm con chuẩn tắc

Cho H là một nhóm con của G.

Ký hiệu xH là tập con của G gồm các phần tử dạng x.h trong đó x ${\displaystyle \in }$  G và h ${\displaystyle \in }$  H. xH được gọi là lớp trái của H.

Tương tự Ký hiệu Hx là tập con của G gồm các phần tử dạng h.x trong đó x ${\displaystyle \in }$  G và h ${\displaystyle \in }$  H. Hx được gọi là lớp phải của H.

Định lý

1. Các lớp xH, x ${\displaystyle \in }$  G tạo thành một phân hoạch của tập G;
2. Các lớp Hx, x ${\displaystyle \in }$  G tạo thành một phân hoạch của tập G;
3. Hx=xH với mọi x${\displaystyle \in }$ G khi và chỉ khi ${\displaystyle x^{-1}.h.x\in H}$  với mọi x${\displaystyle \in }$ G và mọi h ${\displaystyle \in }$  H.

Định nghĩa Nhóm Con

Nhóm con H của G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu Hx=xH với mọi x${\displaystyle \in }$ G, hay tương đương ${\displaystyle x^{-1}.h.x\in H}$  với mọi x${\displaystyle \in }$ G và mọi h ${\displaystyle \in }$  H.

Ví dụ

1. Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc.
2. Xét nhóm các phép thế S₃ của ba số tự nhiên dương đầu tiên 1, 2, 3. S₃ gồm 6 phép thế sau:

${\displaystyle {\sigma }_{1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}=e}$ ;	${\displaystyle {\sigma }_{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}}$ ;	${\displaystyle {\sigma }_{3}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}}$ ;
${\displaystyle {\sigma }_{4}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}}$ ;	${\displaystyle {\sigma }_{5}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}}$ ;	${\displaystyle {\sigma }_{6}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}}$

Ta có bảng nhân của ${\displaystyle S_{3}}$ 

*	${\displaystyle \sigma _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{2}}$	${\displaystyle \sigma _{3}}$	${\displaystyle \sigma _{4}}$	${\displaystyle \sigma _{5}}$	${\displaystyle \sigma _{6}}$
${\displaystyle \sigma _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{2}}$	${\displaystyle \sigma _{3}}$	${\displaystyle \sigma _{4}}$	${\displaystyle \sigma _{5}}$	${\displaystyle \sigma _{6}}$
${\displaystyle \sigma _{2}}$	${\displaystyle \sigma _{2}}$	${\displaystyle \sigma _{3}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{6}}$	${\displaystyle \sigma _{4}}$	${\displaystyle \sigma _{5}}$
${\displaystyle \sigma _{3}}$	${\displaystyle \sigma _{3}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{2}}$	${\displaystyle \sigma _{5}}$	${\displaystyle \sigma _{6}}$	${\displaystyle \sigma _{4}}$
${\displaystyle \sigma _{4}}$	${\displaystyle \sigma _{4}}$	${\displaystyle \sigma _{5}}$	${\displaystyle \sigma _{6}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{2}}$	${\displaystyle \sigma _{3}}$
${\displaystyle \sigma _{5}}$	${\displaystyle \sigma _{5}}$	${\displaystyle \sigma _{6}}$	${\displaystyle \sigma _{4}}$	${\displaystyle \sigma _{3}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{2}}$
${\displaystyle \sigma _{6}}$	${\displaystyle \sigma _{6}}$	${\displaystyle \sigma _{4}}$	${\displaystyle \sigma _{5}}$	${\displaystyle \sigma _{2}}$	${\displaystyle \sigma _{3}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$

Có thể kiểm tra

1. Nhóm con của ${\displaystyle S_{3}}$  sinh bởi ${\displaystyle \sigma _{2}}$  gồm e, ${\displaystyle \sigma _{2},\sigma _{3}}$ ;
2. Nhóm con của ${\displaystyle S_{3}}$  sinh bởi ${\displaystyle \sigma _{3}}$  gồm e, ${\displaystyle \sigma _{2},\sigma _{3}}$ ;
3. Nhóm con của ${\displaystyle S_{3}}$  sinh bởi ${\displaystyle \sigma _{4}}$  gồm e, ${\displaystyle \sigma _{4}}$ ;
4. Nhóm con của ${\displaystyle S_{3}}$  sinh bởi ${\displaystyle \sigma _{5}}$  gồm e, ${\displaystyle \sigma _{5}}$ ;
5. Nhóm con của ${\displaystyle S_{3}}$  sinh bởi ${\displaystyle \sigma _{6}}$  gồm e, ${\displaystyle \sigma _{6}}$ 

• Nhóm
• Lý thuyết nhóm