Tập Hợp Lực Lượng

Ví dụ tập A = {2, 4, 6} có ba phần tử, vậy lực lượng của A là 3. Có hai cách so sánh lực lượng của tập hợp: một là thông qua hàm song ánh và đơn ánh, hai là sử dụng số lực lượng của tập hợp.

Lực lượng của tập A được ký hiệu là | A |, với hai dấu gạch dọc hai bên; giống như là ký hiệu giá trị tuyệt đối (hiểu theo ngữ cảnh). Hoặc lực lượng của A cũng có thể được ký hiệu là ${\displaystyle {\overline {\overline {A}}}\,}$ hoặc # A.

Lực lượng của một tập hợp có thể được biểu thị bằng một số đếm.

Trường hợp 1: | A | = | B |

Hai tập hợp A và B gọi là có lực lượng bằng nhau nếu tồn tại một song ánh, từ A tới B.

Ví dụ, tập các số chẵn E = {0, 2, 4, 6,...} có lực lượng bằng tập tự nhiên N = {0, 1, 2, 3,...} vì hàm số f(n) = 2n là song ánh từ N tới E.

Trường hợp 2: | A | ≥ | B |

A có lực lượng lớn hơn hoặc bằng B nếu tồn tại một hàm đơn ánh từ B tới A.

Trường hợp 3: | A | > | B |

A có lực lượng lớn hơn B nếu chỉ có hàm đơn ánh mà không có song ánh từ B tới A.

Ví dụ, tập số thực R có lực lượng lớn hơn tập số tự nhiên N, bởi vì ánh xạ i: N → R là đơn ánh, và không tồn tại một song ánh từ N tới R (see Cantor's diagonal argument or Cantor's first uncountability proof).

• Số Aleph
• Số Beth
• Ordinality
• Số đếm
• Số thứ tự
• Tập hợp đếm được