Tập Hợp Con

Quan hệ một tập là tập con của tập khác được gọi là quan hệ bao hàm.

Nếu A và B là các tập hợp và mọi phần tử của A cũng là phần tử của B, thì:

A là tập con của B (hay A chứa trong B), ký hiệu ${\displaystyle A\subseteq B}$ ,
hay tương đương
(B là tập chứa của A (hay B chứa A), ký hiệu ${\displaystyle B\supseteq A.}$ 

Nếu A là tập con của B, nhưng có ít nhất 1 phần tử của B không là phần tử của A thì A được gọi là tập hợp con thực sự (hay tập con đích thực) của B, ký hiệu ${\displaystyle A\subsetneq B.}$ 

hay tương đương
• B là tập cha thực sự của A, ký hiệu ${\displaystyle B\supsetneq A.}$ 

Một số tài liệu cũng dùng ký hiệu ${\displaystyle A\subset B}$  thay cho ${\displaystyle A\subseteq B}$ , và ${\displaystyle B\supset A}$  thay cho ${\displaystyle B\supseteq A}$  với ý nghĩa tương tự. Tuy nhiên, nếu chi li ra thì ký hiệu ${\displaystyle A\subseteq B}$  được hiểu rằng A là tập con của B hoặc có thể bằng B, còn ký hiệu ${\displaystyle A\subset B}$  ít mang ý nghĩa A có thể bằng B hơn.

Tương tự như vậy trong số học, khi viết ${\displaystyle x\leq \;y}$  thì x có thể nhỏ hơn y, có thể bằng y, nhưng nếu viết ${\displaystyle x<\;y}$  thì có nghĩa là x chỉ nhỏ hơn y chứ không thể bằng y.

• Tập {1, 2} là tập con thực sự của {1, 2, 3}.
• Một tập hợp là tập con của chính nó, nhưng không phải là tập con thực sự.
• Tập các số tự nhiên là tập con thực sự của tập các số hữu tỷ.
• Nếu d là một đường thẳng nằm trên mặt phẳng P thì d là tập con của P.
• ...

• Quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự, nó có các tính chất:
  • phản xạ: với mọi tập A có ${\displaystyle A\subseteq A}$ ,
  • phản đối xứng: (${\displaystyle A\subseteq B)(B\subseteq A)\Rightarrow A=B}$ ;
  • và bắc cầu: (${\displaystyle A\subseteq B}$ )(${\displaystyle B\subseteq C)\Rightarrow A\subseteq C}$ .
• Tuân theo luật hấp thụ với các phép hợp và giao các tập hợp: Nếu ${\displaystyle A\subset B}$  thì:
  • ${\displaystyle A\cap B=A}$ 
  • ${\displaystyle A\cup B=B}$ .

• Cho B là một tập hợp. Theo định nghĩa trên, tập rỗng (ký hiệu ∅) và chính tập B là tập con của nó. Như vậy mọi tập hợp khác rỗng có ít nhất hai tập con là rỗng và chính nó. Tập rỗng chỉ có một tập con là rỗng. Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.
• Nếu B là tập hữu hạn có n phần tử thì B có 2ⁿ tập con. Chẳng hạn nếu B = {a, b, c} thì B có 8 tập con là ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}

Do đó người ta thường ký hiệu tập các tập con của tập hợp B là 2^B.

• Nếu B là tập vô hạn, người ta chứng minh rằng các tập hợp B và 2^B là không cùng lực lượng.
• Thông thường, trong một lĩnh vực nghiên cứu cụ thể, người ta thường xét các tập con của tập hợp tất cả các đối tượng cần nghiên cứu.

• Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.