Không Gian Xạ Ảnh

Ví dụ: ${\displaystyle P_{n}(\mathbb {R} )}$ là không gian thương của ℝⁿ⁺¹\{0} bởi quan hệ tương đương cộng tuyến.

Tương tự, không gian xạ ảnh phức ${\displaystyle P_{n}(\mathbb {C} )}$ là không gian thương của ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}\backslash \{0\}}$ bởi quan hệ cộng tuyến phức.

Không gian xạ ảnh là một trường hợp đặc biệt của đa tạp Grassmann: ${\displaystyle P_{n}(\mathbb {R} )=P(\mathbb {R} ^{n+1})={\textbf {Gr}}(1,\mathbb {R} ^{n+1})}$.

Cho một K-không gian véc-tơ V, không gian xạ ảnh P(V) là tập hợp các lớp tương đương của V \{0} dưới quan hệ tương đương ~ xác định bởi x ~ y nếu tồn tại một phần tử khác không λ trong K sao cho x = λy. Nếu V là một không gian véc-tơ tô pô, không gian thương P(V) là một không gian tô-pô, được trang bị tô pô thương (ví dụ K là trường các số thực hoặc trường các số phức với tô pô Euclid). Nếu V là một không gian hữu hạn chiều, chiều của P(V) bằng chiều của V trừ đi 1.

Không gian xạ ảnh một chiều ${\displaystyle P_{1}(K)}$  cũng được gọi là đường thẳng xạ ảnh. Không gian xạ ảnh hai chiều ${\displaystyle P_{2}(K)}$  cũng được gọi là mặt phẳng xạ ảnh.

 

• Trang bị cho ${\displaystyle V}$  một chuẩn, ta có một phép phủ ${\displaystyle \pi :\mathbb {S} (V)\to P(V)}$ . Đây là một phép phủ bậc ${\displaystyle 2}$ . Ta có thể trang bị cho ${\displaystyle P(V)}$  một cấu trúc vi phân cảm sinh bởi phép phủ này.
• Với ${\displaystyle n\geq 2}$ , ${\displaystyle \pi _{1}(P(\mathbb {R} ^{n}))\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ . Phần tử sinh của nhóm cơ bản được cho bởi hợp của ${\displaystyle \pi }$  với bất kỳ đường nào nối hai điểm đối cực của hình cầu ${\displaystyle n}$  chiều. (với ${\displaystyle n=1}$ , ta có ${\displaystyle P(\mathbb {R} ^{n})\simeq \mathbb {S} ^{1}}$ , do đó nhóm cơ bản của nó đẳng cấu với ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ .)
• ${\displaystyle P(\mathbb {R} ^{n})}$  là một đa tạp định hướng được khi và chỉ khi ${\displaystyle n}$  lẻ.

Trên ${\displaystyle P(V=\mathbb {R} ^{n})}$  có một phân thớ véc-tơ mà thớ tại mỗi điểm ${\displaystyle [v]\in P(V)}$  là không gian véc-tơ một chiều ${\displaystyle Kv}$ . Đây được gọi là phân thớ lặp trên ${\displaystyle P(V)}$  (tautologique-tautological).

• Hartshorne, Robin, 1977, Algebraic Geometry, Berlin, New York, Springer-Verlag
• Mukai, Shigeru, 2003, An Introduction to Invariants and Moduli, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press
• Veblen, Oswald; Young, John Wesley, 1965, Projective geometry. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London
• Manetti, Marco, 2014, Topology, ISBN 978-3-319-16958-3, mục 5.3, Projective Spaces