Phép Giao

Giao hay Intersection của A và B là tập gồm những phần tử thuộc cả A và B, ngoài ra không có phần tử nào khác. Giao của A và B được viết là "A ∩ B". Nói một cách đơn giản, giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử mà cả A và B có điểm chung.

${\displaystyle A\cap B=\{x|\ x\in A\ {\text{và}}\ x\in B\}}$

Biểu tượng giao nhau đôi khi được thay thế bằng từ "và" giữa hai tập hợp. Từ này gợi ý ký hiệu nhỏ gọn hơn cho giao lộ thường được sử dụng. Một cách để nhớ rằng biểu tượng ∩ này đề cập đến giao lộ là nhận thấy sự giống nhau của nó với chữ A viết hoa, viết tắt của từ "và" trong tiếng Anh.

Phép giao được ký hiệu bằng "${\displaystyle \cap }$ "; Ví dụ chẳng hạn:

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}}$ 
• ${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing }$ 
• ${\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N} }$ 
• ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}$ 

Giao của nhiều hơn hai tập hợp (phép giao tổng quát) thường được viết là:

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$ 

tương tự với ký hiệu sigma viết hoa.

 

 

 

Giao của hai tập hợp ${\displaystyle A}$  và ${\displaystyle B,}$ , ký hiệu bởi ${\displaystyle A\cap B,}$  là tập các đối tượng vừa thuộc tập hợp ${\displaystyle A}$  và vừa thuộc tập hợp ${\displaystyle B.}$  Khi viết bằng ký hiệu:

$${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ và }}x\in B\}.}$$

 

Nghĩa là, ${\displaystyle x}$  là phần tử của giao ${\displaystyle A\cap B}$  khi và chỉ khi ${\displaystyle x}$  vừa là phần tử của ${\displaystyle A}$  và vừa là phần tử của ${\displaystyle B.}$ 

Thêm ví dụ:

• Giao của hai tập {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là {2, 3}.
• Số 9 không nằm trong phần giao của tập các số nguyên tố {2, 3, 5, 7, 11, ...} và tập các số lẻ {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}, là bởi vì số 9 không nguyên tố.

Tập hợp không giao nhau

Ta nói tập hợp ${\displaystyle A}$  giao với tập hợp ${\displaystyle B}$  nếu tồn tại phần tử ${\displaystyle x}$  vừa thuộc ${\displaystyle A}$  vừa thuộc ${\displaystyle B,}$ .

Ngược lại, ta nói tập hợp ${\displaystyle A}$  và ${\displaystyle B}$  không giao nhau hay rời nhau nếu ${\displaystyle A}$  không giao với ${\displaystyle B.}$  Nghĩa là chúng không chung một phần tử nào cả. Tập hợp ${\displaystyle A}$  và ${\displaystyle B}$  không giao nhau nếu giao của chúng là tập rỗng, được ký hiệu là ${\displaystyle A\cap B=\varnothing .}$ 

Ví dụ chẳng hạn, tập ${\displaystyle \{1,2\}}$  và ${\displaystyle \{3,4\}}$  không giao nhau, còn tập các số chẵn giao với tập của các số chia hết cho 3 tại các bội của 6.

Phép giao là phép toán có tính kết hợp; tức là, cho bất kỳ tập ${\displaystyle A,B,}$  và ${\displaystyle C,}$  ta có

$${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.}$$

 

${\displaystyle A\cap B\cap C}$ 

${\displaystyle A}$ 

${\displaystyle B,}$ 

$${\displaystyle A\cap B=B\cap A.}$$

 

${\displaystyle A}$ 

$${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$$

 

${\displaystyle A}$ 

${\displaystyle A\cap A=A}$ 

Phép giao phân phối trên phép hợp và ngược lại. Nghĩa là cho bất kỳ tập ${\displaystyle A,B,}$  và ${\displaystyle C,}$  ta có

$${\displaystyle {\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}}$$

 

${\displaystyle U,}$ 

${\displaystyle A^{c}}$ 

${\displaystyle A}$ 

${\displaystyle U}$ 

${\displaystyle A.}$ 

${\displaystyle A}$ 

${\displaystyle B}$ 

$${\displaystyle A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}}$$

 

Giao của họ khác rỗng

Dạng tổng quát nhất là giao của một họ tập hợp . Nếu ${\displaystyle M}$  là tập hợp khác rỗng trong đó các phần tử là các tập hợp, thì ${\displaystyle x}$  là phần tử của giao của ${\displaystyle M}$  khi và chỉ khi với mọi phần tử ${\displaystyle A}$  thuộc ${\displaystyle M,}$  ${\displaystyle x}$  là phần tử thuộc ${\displaystyle A.}$  Viết bằng ký hiệu:

$${\displaystyle \left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).}$$

 

Ký hiệu này có nhiều các viết khác khác nhau. Các nhà lý thuyết tập hợp sẽ đôi khi viết "${\displaystyle \bigcap M}$ ", trong khi một số sẽ viết "${\displaystyle {\bigcap }_{A\in M}A}$ ". Ký hiệu sau có thể tổng quát hóa thành "${\displaystyle {\bigcap }_{i\in I}A_{i}}$ ", tức là giao của họ ${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}.}$  Trong đó ${\displaystyle I}$  là tập chỉ số khác rỗng và ${\displaystyle A_{i}}$  là tập hợp với mọi ${\displaystyle i\in I.}$ 

Khi tập chỉ số ${\displaystyle I}$  là tập các số tự nhiên, ký hiệu giao có thể viết lại thành:

$${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$$

 

Nếu khó khi định dạng, ta cũng có thể viết "${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots }$ ".

Giao của họ rỗng

 

Trong phần trước, ta vẫn chưa xét trường hợp ${\displaystyle M}$  là tập hợp rỗng (${\displaystyle \varnothing }$ ). Lý do là bởi: Giao của họ ${\displaystyle M}$  được định nghĩa là tập (xem ký pháp xây dựng tập hợp)

$${\displaystyle \bigcap _{A\in M}A=\{x:{\text{ với mọi }}A\in M,x\in A\}.}$$

 

${\displaystyle M}$ 

${\displaystyle A}$ 

${\displaystyle M}$ 

${\displaystyle x}$ 

mọi phần tử ${\displaystyle x}$ 

${\displaystyle M}$ 

Mặc dù vậy, nếu giới hạn về các tập con của một tập ${\displaystyle X}$  cho trước, thì giao của họ rỗng các tập con của ${\displaystyle X}$  được định nghĩa tốt. Trong trường hợp này, nếu ${\displaystyle M}$  rỗng thì giao của nó sẽ là ${\displaystyle \bigcap M=\bigcap \varnothing =\{x\in X:x\in A{\text{ với mọi }}A\in \varnothing \}}$ . Bởi ${\displaystyle x\in X}$  đều thỏa mãn điều kiện, nên giao của họ rỗng các tập con của ${\displaystyle X}$  là toàn bộ của ${\displaystyle X.}$  Nói bằng công thức, ${\displaystyle \bigcap \varnothing =X.}$ Cách hiểu này khớp với ý nghĩ rằng khi họ các tập con càng ngày càng nhỏ đi thì giao tương ứng của chúng càng trở nên lớn hơn; và trong trường hợp đặc biệt, giao của họ rỗng sẽ là toàn bộ tập nền.

• Tập hợp
• Phép hợp
• Giao (Hình học Euclid)
• Đồ thị giao
• Lý thuyết giao
• Danh sách các định thức và quan hệ tập hợp
• Phép hội
• Lý thuyết tập hợp ngây thơ
• Hiệu đối xứng – Các phần tử chỉ thuộc duy nhất một trong hai tập hợp

• Nguyễn Tiến Quang (2008), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục
• Hoàng Xuân Sính (1972), Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám), Nhà xuất bản giáo dục
• Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory . New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
• Munkres, James R. (2000). “Set Theory and Logic”. Topology . Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Rosen, Kenneth (2007). “Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums”. Discrete Mathematics and Its Applications . Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.

• Weisstein, Eric W., "Intersection" từ MathWorld.