Differential

För den fordonstekniska delen, se Differentialväxel, Differentialbroms, Torsendifferential

Låt ${\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$  vara en funktion och ${\displaystyle U}$  en öppen delmängd i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Funktionen ${\displaystyle f}$  säges vara differentierbar i ${\displaystyle a\in U}$  om det existerar en linjär avbildning ${\displaystyle L}$  sådan att

${\displaystyle \lim _{|h|\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-L(h)}{|h|}}=0\ }$ .

Den linjära avbildningen ${\displaystyle L}$  ovan bestäms entydigt av gränsvärdet och kallas differentialen till ${\displaystyle f}$  i ${\displaystyle a}$  samt betecknas ${\displaystyle df_{a}}$ . Differentialen blir således en linjär approximation till differensen ${\displaystyle \Delta _{a}f(h)=f(a+h)-f(a)}$  för ${\displaystyle h}$  nära noll, eller omformulerat, ${\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+df_{a}(h)}$ . Matrisen hörande till differentialen betecknas ${\displaystyle f'(a)}$  och kallas funktionalmatrisen eller jacobimatrisen.

I fallet ${\displaystyle m=n=1}$ , så sammanfaller ${\displaystyle f'(a)}$  med derivatan i ${\displaystyle a}$ , och i fallet ${\displaystyle m=1,n>1}$ , så betecknas vanligen ${\displaystyle f'(a)}$  med ${\displaystyle \nabla f(a)}$ .

Riktningsderivatan, ${\displaystyle D_{v}f(a)}$ , av ${\displaystyle f}$  i ${\displaystyle a}$  utmed riktningen ${\displaystyle v\neq 0}$  ges av gränsvärdet

${\displaystyle D_{v}f(a)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tv)-f(a)}{t}}}$ .

En räkning ger,

${\displaystyle D_{v}f(a)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tv)-f(a)}{t}}=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tv)-f(a)-df_{a}(tv)+df_{a}(tv)}{t}}=}$ 
=${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tv)-f(a)-df_{a}(tv)}{t}}+df_{a}(v)=0+df_{a}(v)=df_{a}(v)}$ 

varför ${\displaystyle D_{v}f(a)=df_{a}(v)}$ . Riktningsderivatan kan sålunda uttryckas med differentialen; speciellt betyder detta att riktningsderivatan är linjär i ${\displaystyle v}$ , givet konventionen ${\displaystyle D_{0}=0}$ .

Betrakta fallet ${\displaystyle m=n=1}$  och beteckna med ${\displaystyle x}$  identitetsfunktionen ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ . Eftersom derivatan av ${\displaystyle x}$  är 1, så är dess differential ${\displaystyle dx_{a}(h)=1\cdot h=h}$ . Om ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$  är en differentierbar funktion, så gäller enligt definitionen ovan ${\displaystyle df_{a}(h)=f'(a)h}$  d.v.s. ${\displaystyle df_{a}(h)=f'(a)dx_{a}(h)}$ . Om nu Leibniz notation, ${\displaystyle f'(a)=df/dx}$ , nyttjas och index samt variabeln ${\displaystyle h}$  undertrycks, så erhålls, tillika ges mening åt, den klassiska formeln

${\displaystyle df={\frac {df}{dx}}dx}$ .

Analogt fås i fallet ${\displaystyle m=1,n>1}$  den klassiska formeln

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}dx_{n}}$ .

Låt ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$  ges av ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ . Differentialen av ${\displaystyle f}$  vid ${\displaystyle a=\pi }$  ges då av multiplikation med ${\displaystyle f'(\pi )=\cos(\pi )=-1}$ . Ett närmrevärde till ${\displaystyle f(3)}$  är då med ${\displaystyle h=3-\pi \approx -0.14}$  och ${\displaystyle a=\pi }$ :

${\displaystyle f(3)=f(\pi +(3-\pi ))=f(a+h)\approx f(a)+df_{a}(h)\approx f(\pi )+(-1)\cdot (-0.14)=0.14.}$ .

Anm. Med fem decimalers noggrannhet är ${\displaystyle f(3)\approx 0.14112}$ .