Pologrupa S Krátením

T.j. ide o pologrupu ${\displaystyle (M,\circ )}$ takú, že pre ľubovoľné ${\displaystyle a,b,c\in M}$ platí

${\displaystyle a\circ b=a\circ c\Rightarrow b=c}$
${\displaystyle b\circ a=c\circ a\Rightarrow b=c}$

(Ak platí len jedna z uvedených podmienok, hovoríme o krátení zľava resp. sprava.)

• Každá grupa je pologrupa s krátením. (A teda aj ľubovoľná jej podpologrupa.)
• Prirodzené čísla s obvyklým sčitovaním tvoria pologrupu s krátením. (Je to podpologrupa grupy ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ .)
• Ako jednoduchý príklad pologrupy, v ktorej neplatí zákon o krátení, môžeme zobrať celé čísla s násobením. Pre nulu totiž krátenie nefunguje. (Po vynechaní nuly už dostaneme pologrupu s krátením.)
• Matice typu n×n tvoria s operáciou násobenia pologrupu. Pre singulárne matice však neplatí zákon o krátení.

• Ľubovoľná konečná pologrupa s krátením je grupa.
• Komutatívna pologrupa sa dá vložiť do grupy práve vtedy, keď v nej platia zákony o krátení. Konštrukcia grupy z komutatívnej pologrupy s krátením je podobná konštrukcii podielového poľa z oboru integrity. Pre nekomutatívne pologrupy je krátenie nutnou podmienkou pre vložiteľnosť do grupy, nie však postačujúcou.