Прямое Произведение

Предполагается, что впервые «декартово» (в честь Рене Декарта) произведение двух множеств ввёл Георг Кантор.

Понятие прямого произведения естественно обобщается на произведение множеств с дополнительной структурой (алгебраической, топологической и так далее), поскольку произведение множеств часто наследует структуры, имевшиеся на исходных множествах.

Произведение двух множеств

Пусть даны два множества ${\displaystyle X}$  и ${\displaystyle Y}$ . Прямое произведение множества ${\displaystyle X}$  и множества ${\displaystyle Y}$  есть такое множество ${\displaystyle X\times Y}$ , элементами которого являются упорядоченные пары ${\displaystyle (x,y)}$  для всевозможных ${\displaystyle x\in X}$  и ${\displaystyle y\in Y}$ . Упорядоченную пару, образованную из элементов ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b}$ , принято записывать, используя круглые скобки: ${\displaystyle (a,b)}$ . Элемент ${\displaystyle a}$  называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент ${\displaystyle b}$  – второй координатой (компонентой) пары.

Прямое произведение двух множеств наглядно можно представить в виде таблицы, строки которой определяют элементы первого множества, а столбцы, соответственно, второго. Все клетки данной таблицы в таком случае будут элементами декартова произведения.

Слово «упорядоченная» значит, что для ${\displaystyle x\neq y}$ , ${\displaystyle (x,y)\neq (y,x)}$ . Так, пары ${\displaystyle (a,b)}$  и ${\displaystyle (c,d)}$  равны в том и только том случае, если ${\displaystyle a=c}$  и ${\displaystyle b=d}$ .

Важность «порядка» можно показать на примере обычной записи чисел: используя две цифры 3 и 5, можно записать четыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов.

В упорядоченной паре ${\displaystyle (a,b)}$  может быть, что ${\displaystyle a=b}$ . Так, запись чисел 33 и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3) и (5; 5).

Отображения произведения множеств в его множители — ${\displaystyle \varphi \colon X\times Y\to X,\;\varphi (x,y)=x}$  и ${\displaystyle \psi \colon X\times Y\to Y,\;\psi (x,y)=y}$  — называют координатными функциями.

Аналогично определяется произведение конечного семейства множеств.

Комментарии

Строго говоря, тождество ассоциативности ${\displaystyle A\times (B\times C)=(A\times B)\times C}$  не имеет места, но в силу существования естественного взаимно однозначного соответствия (биекции) между множествами ${\displaystyle A\times (B\times C)}$  и ${\displaystyle (A\times B)\times C}$  этим различием можно зачастую пренебречь.

Декартова степень

${\displaystyle n}$ -я декартова степень множества ${\displaystyle X}$  определяется для целых неотрицательных ${\displaystyle n}$ , как ${\displaystyle n}$ -кратное декартово произведение ${\displaystyle X}$  на себя :

${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {X\times X\times \ldots \times X} .\\n\end{matrix}}}$ 

Обычно обозначается как ${\displaystyle X^{n}}$  или ${\displaystyle X^{\times n}}$ .

При положительных ${\displaystyle n}$  декартова степень ${\displaystyle X^{n}}$  состоит из всех упорядоченных наборов элементов из ${\displaystyle X}$  длины ${\displaystyle n}$ . Так, вещественное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  — множество кортежей из трех вещественных чисел — есть 3-я степень множества вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ 

При ${\displaystyle n=0}$ , декартова степень ${\displaystyle X^{0},}$  по определению, содержит единственный элемент — пустой кортеж.

Прямое произведение семейства множеств

В общем случае, для произвольного семейства множеств (не обязательно различных) ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$  (множество индексов может быть бесконечным) прямое произведение ${\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}$  определяется как множество функций, сопоставляющих каждому элементу ${\displaystyle i\in I}$  элемент множества ${\displaystyle X_{i}}$ :

${\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}=\{f\colon I\to \bigcup \limits _{i\in I}X_{i}\mid f(i)\in X_{i},i\in I\}.}$ 

Отображения ${\displaystyle \pi _{i}\colon X\to X_{i}\colon f\mapsto f(i)}$  называются проекциями, и определяются следующим образом: ${\displaystyle \pi _{i}\colon (a_{1},\dots a_{n})\mapsto a_{i}}$ .

В частности, для конечного семейства множеств ${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{n}\}}$  любая функция ${\displaystyle f:\{1,\dots ,n\}\to \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}}$  с условием ${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$  эквивалентна некоторому кортежу длины ${\displaystyle n}$ , составленному из элементов множеств ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{n}}$ , так, что на ${\displaystyle i}$ -ом месте кортежа стоит элемент множества ${\displaystyle A_{i}}$ . Поэтому декартово (прямое) произведение конечного числа множеств ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{n}}$  может быть записано так:

${\displaystyle A_{1}\times \dots \times A_{n}=\{(a_{1},\dots ,a_{n})\mid a_{i}\in A_{i},i\in \{1,\dots ,n\}\}.}$ 

Теоретико-множественные операции с прямыми произведениями

Пусть заданы прямые произведения ${\displaystyle A=A_{1}\times \dots \times A_{n}}$  и ${\displaystyle B=B_{1}\times \dots \times B_{n}}$ . Тогда

1. ${\displaystyle A\subseteq B}$ , если и только если ${\displaystyle A_{i}\subseteq B_{i}}$  для всех ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$ ;
2. ${\displaystyle A\cap B=(A_{1}\cap B_{1})\times \dots \times (A_{n}\cap B_{n})}$ , при этом, если существует хотя бы один ${\displaystyle i}$ , такой что ${\displaystyle A_{i}\cap B_{i}=\varnothing }$ , то ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$  ;
3. ${\displaystyle A\cup B\subseteq (A_{1}\cup B_{1})\times \dots \times (A_{n}\cup B_{n})}$ , при этом равенство возможно лишь в следующих случаях:

${\displaystyle \quad \quad }$  - ${\displaystyle A\subseteq B}$  или ${\displaystyle B\subseteq A}$ ;

${\displaystyle \quad \quad }$  - для всех ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n\quad A_{i}=B_{i}\quad }$  за исключением одного из ${\displaystyle i}$ .

${\displaystyle \quad \quad }$ 4. Дополнение прямого произведения ${\displaystyle A=A_{1}\times \dots \times A_{n}}$  можно вычислить, если задан универсум ${\displaystyle U=X_{1}\times \dots \times X_{n}}$ . Для упрощения выражений введем следующие обозначения. Обозначим прямое произведение в виде ограниченного квадратными скобками кортежа, в котором располагаются множества, из которых сформировано прямое произведение, например:

${\displaystyle A=A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}=[A_{1}\quad A_{2}\quad \dots \quad A_{n}]}$ .

В алгебре кортежей такое матрицеподобное представление прямых произведений названо C-кортежем.

С учетом этого объединение прямых произведений, заданных в одном и том же универсуме, можно выразить в виде матрицы, ограниченной квадратными скобками, в которой строки представляют прямые произведения, участвующие в объединении:

${\displaystyle A\cup B=(A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n})\cup (B_{1}\times B_{2}\times \dots \times B_{n})=\left[{\begin{array}{cccc}A_{1}&A_{2}&\dots &A_{n}\\B_{1}&B_{2}&\dots &B_{n}\end{array}}\right]}$ .

Эта структура в алгебре кортежей названа C-системой.

Тогда дополнением прямого произведения ${\displaystyle A}$  будет следующая C-система, выраженная в виде матрицы размерности ${\displaystyle n\times n}$ :

${\displaystyle {\overline {A}}=\left[{\begin{array}{ccccc}{\overline {A_{1}}}&X_{2}&\dots &X_{n-1}&X_{n}\\X_{1}&{\overline {A_{2}}}&\dots &X_{n-1}&X_{n}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\X_{1}&X_{2}&\dots &{\overline {A_{n-1}}}&X_{n}\\X_{1}&X_{2}&\dots &X_{n-1}&{\overline {A_{n}}}\end{array}}\right]}$ .

Диагональные компоненты этой матрицы ${\displaystyle {\overline {A_{i}}}}$  равны соответственно ${\displaystyle X_{i}\setminus A_{i}}$ .

В алгебре кортежей диагональную C-систему ${\displaystyle {\overline {A}}}$ , выражающую дополнение C-кортежа ${\displaystyle A}$ , можно представить в сжатом виде как ограниченный перевернутыми квадратными скобками кортеж диагональных компонент:

${\displaystyle {\overline {A}}=]{\overline {A_{1}}}\quad {\overline {A_{2}}}\quad \dots \quad {\overline {A_{n}}}[}$ .

Эта структура называется D-кортежем. Тогда дополнением C-системы ${\displaystyle R}$  будет структура ${\displaystyle {\overline {R}}}$ , представленная матрицей той же размерности, ограниченной перевернутыми квадратными скобками, в которой все компоненты равны дополнениям компонент исходной матрицы ${\displaystyle R}$ . Данная структура названа D-системой и вычисляется при необходимости как пересечение содержащихся в ней D-кортежей. Например, если задана C-система

${\displaystyle R_{1}=\left[{\begin{array}{cccc}A_{1}&A_{2}&\dots &A_{n}\\B_{1}&B_{2}&\dots &B_{n}\end{array}}\right]}$ ,

то ее дополнением будет D-система

${\displaystyle {\overline {R_{1}}}=\left]{\begin{array}{cccc}{\overline {A_{1}}}&{\overline {A_{2}}}&\dots &{\overline {A_{n}}}\\{\overline {B_{1}}}&{\overline {B_{2}}}&\dots &{\overline {B_{n}}}\end{array}}\right[}$ .

Рассмотрим некоторые новые соотношения для структур с прямыми произведениями, полученные в процессе исследования свойств алгебры кортежей. Однотипными называются структуры, заданные в одном и том же универсуме.

Пересечение C-систем. Пусть даны однотипные C-системы ${\displaystyle P}$  и ${\displaystyle Q}$ . Результатом их пересечения будет C-система, содержащая все непустые пересечения каждого C-кортежа из ${\displaystyle P}$  с каждым C-кортежем из ${\displaystyle Q}$ .

Проверка включения C-кортежа в D-кортеж. Для C-кортежа ${\displaystyle P=[P_{1}\quad P_{2}\quad \cdots \quad P_{N}]}$  и D-кортежа и ${\displaystyle Q=]Q_{1}\quad Q_{2}\quad \cdots \quad Q_{N}[}$  справедливо ${\displaystyle P\subseteq Q}$ , если и только если по крайней мере для одного ${\displaystyle i}$  соблюдается ${\displaystyle P_{i}\subseteq Q_{i}}$ .

Проверка включения C-кортежа в D-систему. Для C-кортежа ${\displaystyle P}$  и D-системы ${\displaystyle Q}$  справедливо ${\displaystyle P\subseteq Q}$ , если и только если для каждого D-кортежа ${\displaystyle Q_{i}}$  из ${\displaystyle Q}$  выполняется ${\displaystyle P\subseteq Q_{i}}$ .

Пусть ${\displaystyle f}$  — отображение из ${\displaystyle A}$  в ${\displaystyle B}$ , а ${\displaystyle g}$  — отображение из ${\displaystyle X}$  в ${\displaystyle Y}$ . Их прямым произведением ${\displaystyle f\times g}$  называется отображение из ${\displaystyle A\times X}$  в ${\displaystyle B\times Y}$ : ${\displaystyle (f\times g)(a,\;x)=(f(a),\;g(x))}$ .

Аналогично вышеизложенному, данное определение обобщается на многократные и бесконечные произведения.

Прямое произведение групп

Прямое (декартово) произведение двух групп ${\displaystyle (G,*)}$  и ${\displaystyle (H,\circ )}$  — это группа из всех пар элементов ${\displaystyle (g,h)}$  с операцией покомпонентного умножения: ${\displaystyle (g_{1},h_{1})\times (g_{2},h_{2})=(g_{1}*g_{2},h_{1}\circ h_{2})}$ . Эта группа обозначается как ${\displaystyle G\times H}$ . Ассоциативность операции умножения в группе ${\displaystyle G\times H}$  следует из ассоциативности операций перемножаемых групп. Сомножители ${\displaystyle G}$  и ${\displaystyle H}$  изоморфны двум нормальным подгруппам своего произведения, ${\displaystyle \{(g,1_{H})\mid g\in G\}}$  и ${\displaystyle \{(1_{G},h)\mid h\in H\}}$  соответственно. Пересечение этих подгрупп состоит из одного элемента ${\displaystyle (1_{G},1_{H})}$ , который является единицей группы-произведения. Координатные функции произведения групп являются гомоморфизмами.

Это определение распространяется на произвольное число перемножаемых групп. В случае конечного числа прямое произведение изоморфно прямой сумме. Отличие возникает при бесконечном числе множителей.

В общем случае, ${\displaystyle {\overline {\prod _{i\in I}}}G_{i}=\{f\colon I\to \bigcup _{i\in I}G_{i}\}}$ , где ${\displaystyle f(i)\in G_{i}}$  и ${\displaystyle (f_{1}\times f_{2})(i)=f_{1}(i)*f_{2}(i)}$ . (Операция в правой части — это операция группы ${\displaystyle G_{i}}$ ). Единицей группы-произведения будет последовательность, составленная из единиц всех перемножаемых групп: ${\displaystyle (1_{i}),\;i\in I}$ . Например, для счётного числа групп: ${\displaystyle {\overline {\prod _{i\in \mathbb {N} }}}\mathbb {Z} _{2}=(2^{\mathbb {N} },\;\operatorname {xor} )}$ , где в правой части стоит множество всех бесконечных двоичных последовательностей.

Подгруппа на множестве всех ${\displaystyle f}$ , носитель которых (то есть множество ${\displaystyle \mathrm {supp} \,(f)=\{i\in I\mid f(i)\neq 1_{i}\}}$ ) конечен, называется прямой суммой. Например, прямая сумма того же самого набора множеств ${\displaystyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {Z} _{2}\ =\ (\mathbb {N} ,\;\operatorname {xor} )}$  содержит все двоичные последовательности с конечным числом единиц, а их можно трактовать как двоичные представления натуральных чисел.

Декартово произведение индексированной системы групп есть её прямое произведение в категории Grp.

Прямая сумма индексированной системы групп есть её копроизведение в категории Grp.

Прямое произведение других алгебраических структур

Аналогично произведению групп можно определить произведения колец, алгебр, модулей и линейных пространств, причём в определении прямого произведения ${\displaystyle 1_{i}}$  (см. выше) следует заменить нулём. Определение произведения двух (или конечного числа) объектов совпадает с определением прямой суммы. Однако, вообще говоря, прямая сумма отличается от прямого произведения: например, прямое произведение счётного множества копий ${\displaystyle \mathbb {R} }$  есть пространство всех последовательностей действительных чисел, тогда как прямая сумма — пространство тех последовательностей, у которых только конечное число членов ненулевые (так называемых финитных последовательностей).

Прямое произведение векторных пространств

Декартово произведение ${\displaystyle U\times V}$  двух векторных пространств ${\displaystyle U}$  и ${\displaystyle V}$  над общим полем ${\displaystyle F}$  — это множество упорядоченных пар векторов ${\displaystyle \left\{\left(u,v\right)\mid u\in U\wedge v\in V\right\}}$ , то есть теоретико-множественное декартово произведение множеств векторов из ${\displaystyle U}$  и ${\displaystyle V}$ , с линейностью, заданной покоординатно: ${\displaystyle \left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(a+c,b+d\right)}$ , ${\displaystyle \mathrm {\alpha } \left(a,b\right)=\left(\mathrm {\alpha } a,\mathrm {\alpha } b\right)}$ .

Данное определение распространяется на любую индексированную систему линейных (векторных) пространств: декартовым произведением индексированной системы векторных пространств над общим полем является теоретико­‑множественное декартово произведение множеств векторов сомножителей, на котором задана покоординатная линейность, то есть при суммировании суммируются все проекции, при умножении на число все проекции умножаются на это число: ${\displaystyle c=a+b\leftrightarrow \forall i:c_{i}=a_{i}+b_{i}}$ , ${\displaystyle b=\mathrm {\alpha } a\leftrightarrow \forall i:b_{i}=\mathrm {\alpha } a_{i}}$ .

Декартово произведение индексированной системы линейных пространств есть её прямое произведение в категории ${\displaystyle \operatorname {Vec} _{F}}$ , где ${\displaystyle F}$  есть подлежащее поле системы.

Прямая сумма векторных пространств есть такое подмножество их декартова произведения, элементы которого имеют лишь конечное число отличных от нуля проекций ${\displaystyle \bigoplus {A}=\left\{a\in \prod {A}\mid \left\vert \left\{i\in \operatorname {dom} A\mid a_{i}\neq 0\right\}\right\vert <\aleph _{0}\right\}}$ , где ${\displaystyle \operatorname {dom} A}$  есть индексное множество индексированной системы ${\displaystyle A}$ . Для конечного числа слагаемых прямая сумма не отличается от декартова произведения.

Прямая сумма индексированной системы линейных пространств есть её копроизведение в категории ${\displaystyle \operatorname {Vec} _{F}}$ , где ${\displaystyle F}$  есть подлежащее поле системы.

Прямое произведение топологических пространств

Пусть ${\displaystyle X}$  и ${\displaystyle Y}$  — два топологических пространства. Топология декартова произведения ${\displaystyle X\times Y}$  задаётся на их теоретико­‑множественном произведении, как бесструктурных множеств, базой, состоящей из всевозможных произведений ${\displaystyle U\times V}$ , где ${\displaystyle U}$  — открытое подмножество ${\displaystyle X}$  и ${\displaystyle V}$  — открытое подмножество ${\displaystyle Y}$ .

Определение легко обобщается на случай произведения нескольких пространств.

Для произведения бесконечного набора сомножителей определение усложняется: пусть ${\displaystyle X}$  есть индексированная система топологических пространств, ${\displaystyle B=\prod {\overline {X}}}$  — бесструктурное произведение элементов ${\displaystyle X}$ , как множеств. Определим цилиндр, восставленный над ${\displaystyle U\subseteq X_{i}}$ , как множество всех точек из ${\displaystyle B}$ , чьи ${\displaystyle i}$ ‑е проекции лежат в ${\displaystyle U}$ , т. е. ${\displaystyle \operatorname {Cyl} \left(i,\;U\right)=\left\{x\in B\mid x_{i}\in U\right\}}$ , где ${\displaystyle i\in \operatorname {dom} X}$  и ${\displaystyle \operatorname {dom} X}$  есть индексное множество индексированной системы ${\displaystyle X}$ . Топология произведения будет задана на предбазе из цилиндров, восставленных надо всеми открытыми множествами всех топологий из набора ${\displaystyle X}$ : ${\displaystyle \left\{\operatorname {Cyl} \left(i,\;U\right)\mid i\in \operatorname {dom} X\land U\in \operatorname {T} \left(X_{i}\right)\right\}}$ , где ${\displaystyle \operatorname {T} \left(X_{i}\right)}$  есть совокупность всех отрытых множеств (топология) пространства ${\displaystyle X_{i}}$ , то есть задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров. Данная топология является «контрвариантно» наведённой проекторами — это минимальная топология на теоретико­‑множественном декартовом произведении, при которой все проекторы непрерывны (такая топология аналогична компактно-открытой топологии пространств отображений, если считать индексное множество ${\displaystyle I}$  имеющим дискретную топологию).

Декартово произведение индексированной системы топологических пространств есть её прямое произведение в категории ${\displaystyle \operatorname {Top} }$ .

Прямая сумма топологий строится на бесструктурной прямой сумме пространств, как множеств точек. Открытыми в ней являются все множества, пересечения которых со всеми слагаемыми открыты. Данная топология является «ковариантно» наведённой копроекторами — это максимальная топология на теоретико­‑множественной прямой сумме, при которой все копроекторы (т. е. вложения слагаемых в сумму) непрерывны.

Прямая сумма индексированной системы топологических пространств есть её копроизведение в категории ${\displaystyle \operatorname {Top} }$ .

Теорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).

Также теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполнена аксиома Колмогорова.

Прямое произведение графов

Множество вершин прямого произведения двух графов ${\displaystyle G}$  и ${\displaystyle H}$  задаётся как произведение вершин графов сомножителей. Рёбрами будут соединены следующие па́ры вершин:

• ${\displaystyle (g,\;h)(g',\;h)}$ , где ${\displaystyle g}$  и ${\displaystyle g'}$  — соединённые ребром вершины графа ${\displaystyle G}$ , а ${\displaystyle h}$  — произвольная вершина графа ${\displaystyle H}$ ;
• ${\displaystyle (g,\;h)(g,\;h')}$ , где ${\displaystyle g}$  — произвольная вершина графа ${\displaystyle G}$ , а ${\displaystyle h}$  и ${\displaystyle h'}$  — соединённые ребром вершины графа ${\displaystyle H}$ .

Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является объединением двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.

Идея прямого произведения получила дальнейшее развитие в теории категорий, где она послужила основой для понятия произведения объектов. Неформально, произведение двух объектов ${\displaystyle A}$  и ${\displaystyle B}$  — это наиболее общий объект в данной категории, для которого существуют проекции на ${\displaystyle A}$  и ${\displaystyle B}$ . Во многих категориях (множеств, групп, графов, …) произведением объектов является именно их прямое произведение. Важно, что в большинстве случаев важно не столько конкретное определение прямого произведения, сколько указанное выше свойство универсальности. Различные определения будут давать при этом изоморфные объекты.

• Дизъюнктное объединение
• Полупрямое произведение
• Прямая сумма
• Тензорное произведение
• Декартовы координаты
• Операции над множествами
• Комбинаторика