Евклидово Пространство

В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, то есть является трёхмерным.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением; либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. Некоторые авторы ставят знак равенства между евклидовым и предгильбертовым пространством. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

${\displaystyle n}$-мерное евклидово пространство обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$; также часто используется обозначение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, когда из контекста ясно, что пространство снабжено естественной евклидовой структурой.

Чтобы дать определение евклидова пространства, в качестве основы проще всего использовать понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на парах векторов которого задана вещественнозначная функция ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ),}$  обладающая следующими тремя свойствами:

• Линейность: для любых векторов ${\displaystyle \mathbf {u,v,w} }$  и для любых вещественных чисел ${\displaystyle a,b}$  справедливы соотношения ${\displaystyle (a\mathbf {u} +b\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=a\mathbf {(u,w)} +b\mathbf {(v,w)} }$ ;
• Симметричность: для любых векторов ${\displaystyle u,v}$  верно равенство ${\displaystyle \mathbf {(u,v)=(v,u)} ;}$ 
• Положительная определённость: ${\displaystyle \mathbf {(u,u)} \geqslant 0}$  для любого ${\displaystyle u,}$  причём ${\displaystyle \mathbf {(u,u)} =0\Rightarrow \mathbf {u} =0.}$ 

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством или просто евклидовым пространством.

Пример евклидова пространства — координатное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$  состоящее из всевозможных наборов вещественных чисел ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$  где скалярное произведение определяется формулой ${\displaystyle \mathbf {(x,y)} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}$ 

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора ${\displaystyle u}$  определяется как ${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {(u,u)} }}}$  и обозначается ${\displaystyle |\mathbf {u} |.}$  Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что ${\displaystyle |a\mathbf {u} |=|a||\mathbf {u} |,}$  то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами ${\displaystyle \mathbf {x} }$  и ${\displaystyle \mathbf {y} }$  определяется как ${\displaystyle \arccos \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} .}$  Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ненулевые ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы под углом ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}},}$  то есть как векторы с нулевым скалярным произведением.

Замечание

Необходимо уточнить, что, чтобы арккосинус от ${\displaystyle \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} }$  был определён, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство ${\displaystyle \left|\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} \right|\leqslant 1.}$  Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве: оно называется неравенством Коши — Буняковского. Из него, в свою очередь, следует неравенство треугольника: ${\displaystyle \mathbf {|u+v|\leqslant |u|+|v|} .}$  Неравенство треугольника, вместе с вышеперечисленными свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция ${\displaystyle d\mathbf {(x,y)} ,}$  или ${\displaystyle \mathbf {|x-y|} ,}$  задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) ${\displaystyle \mathbf {x} }$  и ${\displaystyle \mathbf {y} }$  координатного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  задаётся формулой ${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$ 

Ортонормированные базисы

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$  и ${\displaystyle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}$  в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле ${\displaystyle (a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.}$  В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, ${\displaystyle n}$ -мерное евклидово пространство изоморфно ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекции

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора ${\displaystyle x}$  на подпространство ${\displaystyle U}$  — это вектор ${\displaystyle h,}$  ортогональный ${\displaystyle U,}$  такой что ${\displaystyle x}$  представим в виде ${\displaystyle u+h,}$  где ${\displaystyle u\in U.}$  Расстояние между концами векторов ${\displaystyle u}$  и ${\displaystyle x}$  является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора ${\displaystyle x}$  до подпространства ${\displaystyle U.}$  Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует: для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор ${\displaystyle x}$  евклидова пространства задаёт линейный функционал ${\displaystyle x^{*}}$  на этом пространстве, определяемый как ${\displaystyle x^{*}(y)=(x,y).}$  Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.

Движения евклидова пространства — это преобразования пространства на само себя, сохраняющие метрику (также называются изометриями пространства на само себя). Пример движения — параллельный перенос на вектор ${\displaystyle \mathbf {v} }$ , переводящий точку ${\displaystyle \mathbf {p} }$  в точку ${\displaystyle \mathbf {p+v} }$ . Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n, удовлетворяющих условию ${\displaystyle Q^{\mathsf {T}}Q=E}$ , где ${\displaystyle Q^{\mathsf {T}}}$  — транспонированная матрица, а ${\displaystyle E}$  — единичная матрица.

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• ${\displaystyle \mathbb {E^{1}} }$  размерности ${\displaystyle 1}$  (вещественная прямая — к примеру, числовая ось);
• ${\displaystyle \mathbb {E^{2}} }$  размерности ${\displaystyle 2}$  (евклидова плоскость);
• ${\displaystyle \mathbb {E^{3}} }$  размерности ${\displaystyle 3}$  (евклидово трёхмерное пространство).

Более абстрактный пример:

• пространство ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{n}}$  вещественных многочленов, степени которых не превосходят n, со скалярным произведением, определённым как интеграл их произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$ ).

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве:

• правильные многомерные многогранники (например, N-мерный куб, N-мерный октаэдр, N-мерный тетраэдр);
• гиперсфера;
• гипертор.

Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Если в качестве основного поля использовать не поле вещественных чисел, а поле комплексных, то это даст определение унитарного (или эрмитова) пространства.

Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства. Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства. Требование того, чтобы предгильбертово пространство было полным по метрике, ведёт к определению гильбертова пространства; пространство квадратично-суммируемых последовательностей — гильбертово пространство, которое может рассматриваться как пространство векторов с бесконечным числом координат.