Бесконечное Множество

Можно дать ещё несколько эквивалентных определений бесконечного множества:

• Множество, в котором для любого натурального числа ${\displaystyle n}$ найдётся конечное подмножество из ${\displaystyle n}$ элементов.
• Множество, в котором найдётся счётное подмножество.
• Множество, в котором найдётся подмножество, равномощное некоторому (ненулевому) предельному ординалу.
• Множество, для которого существует биекция с некоторым его собственным подмножеством.

Для любого бесконечного множества существует множество с ещё большей мощностью — таким образом, не существует бесконечного множества наибольшей мощности. Мощности бесконечных множеств называются алефами («алеф», א — первая буква еврейского алфавита) и обозначаются ${\displaystyle \aleph _{\alpha },}$ где индекс ${\displaystyle \alpha }$ пробегает все порядковые числа. Мощности бесконечных множеств составляют вполне упорядоченный класс — наименьшей мощностью бесконечного множества является ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (алеф-0, мощность множества натуральных чисел), за ним следуют ${\displaystyle \aleph _{1},\aleph _{2},\dots \aleph _{\omega },\aleph _{\omega +1},\dots \aleph _{\omega _{1}},\dots \aleph _{\omega _{\omega _{1}}},\dots }$

• Множества натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$  целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$  рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$  действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$  комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$  — являются бесконечными множествами.
• Множество функций ${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$  является бесконечным.
• Упорядоченное бесконечное множество может иметь "концы" (минимальный и максимальный элементы) — например, множество рациональных чисел на отрезке ${\displaystyle [0,1].}$ 
• Совокупность всех бесконечных подмножеств счётного множества является несчётным бесконечным множеством.

• Бесконечность
• Кардинальное число
• Аксиоматика теории множеств
• Теорема Кантора — Бернштейна
• Континуум
• Континуум-гипотеза