Prodot Cartesian

Propietà

• Si ${\displaystyle A_{1}\subseteq A}$ e ${\displaystyle B_{1}\subseteq B}$, antlora ${\displaystyle A_{1}\times B_{1}\subseteq A\times B}$.

Ël prodot cartesian a l'é nen comutativ, ma a l'é distributiv, a snistra e a drita, rëspet a l'union e a l'antërsession:

• ${\displaystyle (A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)}$,
• ${\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)}$,
• ${\displaystyle (A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C)}$,
• ${\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)}$.

Generalisassion

Pì an general, si ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ a son d'ansem, sò prodot cartesian ${\displaystyle A_{1}\times \ldots \times A_{n}}$ a l'é l'ansem ëd tute j'n-uple ordinà ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ andoa ${\displaystyle a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}}$.

Cand tuti ij fator ${\displaystyle A_{i}}$ a son uguaj a 'n midem ansem A, sò prodot cartesian a l'é ëdcò dit potensa cartesian-a e denotà ${\displaystyle A^{n}}$. N'esempi amportant a l'é cand tuti ij fator a son uguaj a ${\displaystyle \mathbb {R} }$: la potensa cartesian-a a smon un model matemàtich ëd lë spassi ëd dimension n.
As definiss la diagonal d'${\displaystyle A^{2}}$ tanme ${\displaystyle \{(a,a)\}_{a\in A}}$.

Ancor pì an general, as peul definisse ël prodot cartesian ëd na famija qualsëssìa d'ansem ${\displaystyle \{A_{\alpha }\}_{\alpha \in T}}$ anté che T a l'é n'ansem nen veuid d'ìndes. Antlora sò prodot cartesian a l'é

${\displaystyle \prod _{\alpha \in T}A_{\alpha }=\{f:T\rightarrow \bigcup _{\alpha \in T}A_{\alpha }\mid \forall \alpha \in T\ f(\alpha )\in A_{\alpha }\}}$.