Álgebra Booliana: álgebras que representam operações lógicas e de conjuntos, em homenagem a Boole

 Ver artigo principal: George Boole

O termo "álgebra booliana" é uma homenagem a George Boole, um matemático inglês autodidata. Boole introduziu o sistema algébrico, inicialmente, em um pequeno panfleto, o The Mathematical Analysis of Logic, publicado em 1847, em resposta a uma controvérsia em curso entre Augustus De Morgan e William Hamilton, e mais tarde como um livro mais substancial, The Laws of Thought, publicado em 1854. A formulação de Boole difere das descritas acima em alguns aspectos importantes. Por exemplo, a conjunção e a disjunção em Boole não era um duplo par de operações. A álgebra booliana surgiu na década de 1860, em artigos escritos por William Jevons e Charles Sanders Peirce. A primeira apresentação sistemática de álgebra booliana e reticulados distributivos é devido ao 1890 Vorlesungen de Ernst Schröder . O primeiro tratamento extensivo de álgebra booliana em inglês foi em 1898 na Universal Algebra de Whitehead.

Uma álgebra booliana é uma 6-upla ${\displaystyle (X,\vee ,\wedge ,\neg ,0,1)}$  consistindo de um conjunto ${\displaystyle X}$  munido de duas operações binárias ${\displaystyle \vee }$  (também denotado por ${\displaystyle +}$ , é geralmente chamado de "ou") e ${\displaystyle \wedge }$  (também denotado por ${\displaystyle \ast }$  ou por ${\displaystyle \cdot }$ , é geralmente chamado de "e"), uma operação unária ${\displaystyle \neg }$  (também denotada por ${\displaystyle \sim }$  ou por uma barra superior, é geralmente chamado de "não"), e duas constantes ${\displaystyle 0}$  (também denotada por ${\displaystyle \bot }$  ou por ${\displaystyle F}$ , geralmente chamado de "zero" ou de "falso") e ${\displaystyle 1}$  (também denotada por ${\displaystyle \top }$  ou por ${\displaystyle V}$ , geralmente chamado de "um" ou de "verdadeiro"), e satisfazendo os seguintes axiomas, para quaisquer ${\displaystyle a,b,c\in X}$ :

Propriedades Associativas	${\displaystyle (a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)}$	${\displaystyle (a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)}$
Propriedades Comutativas	${\displaystyle a\vee b=b\vee a}$	${\displaystyle a\wedge b=b\wedge a}$
Propriedades Absortivas	${\displaystyle a\wedge (a\vee b)=a}$	${\displaystyle a\vee (a\wedge b)=a}$
Propriedades Distributivas	${\displaystyle a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge (a\vee c)}$	${\displaystyle a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c)}$
Elementos Neutros	${\displaystyle a\vee 0=a}$	${\displaystyle a\wedge 1=a}$
Elementos Complementares	${\displaystyle a\vee \neg a=1}$	${\displaystyle a\wedge \neg a=0}$

Alguns autores também incluem a propriedade ${\displaystyle 0\neq 1}$ , para evitar a álgebra booliana com somente um elemento.

• O exemplo mais simples de álgebra booliana com mais de um elemento é o conjunto ${\displaystyle \{0,1\}}$  munido das seguintes operações:

${\displaystyle \vee }$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \wedge }$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \neg }$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle 0}$

• Um outro exemplo de álgebra booliana é o conjunto ${\displaystyle \{0,1,?\}}$  (o elemento ${\displaystyle ?}$  é geralmente chamado de "desconhecido" ou de "talvez") munido das seguintes operações:

${\displaystyle \vee }$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle ?}$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle ?}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle ?}$  ${\displaystyle ?}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle ?}$

${\displaystyle \wedge }$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle ?}$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle ?}$  ${\displaystyle ?}$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle ?}$  ${\displaystyle ?}$

${\displaystyle \neg }$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle ?}$  ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle 0}$  ${\displaystyle ?}$

• Dado um conjunto ${\displaystyle A}$ , o conjunto ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$  das partes de ${\displaystyle A}$  munido das operações ${\displaystyle a\vee b=a\cup b}$ , ${\displaystyle a\wedge b=a\cap b}$ , ${\displaystyle \neg a=A\setminus a}$ , e onde ${\displaystyle 0=\varnothing }$  e ${\displaystyle 1=A}$ , é uma álgebra booliana.
• O intervalo ${\displaystyle [0,1]}$  munido das operações ${\displaystyle a\vee b=\mathrm {max} \{a,b\}}$ , ${\displaystyle a\wedge b=\mathrm {min} \{a,b\}}$ , e ${\displaystyle \neg a=1-a}$ , é uma álgebra booliana. Essa álgebra booliana recebe o nome de lógica fuzzy.

Dado uma álgebra booliana sobre ${\displaystyle X}$ , são válidos para quaisquer ${\displaystyle a,b\in X}$ :

Propriedades Idempotentes

• ${\displaystyle a\vee a=a}$ 
• ${\displaystyle a\wedge a=a}$ 

Dupla Negação

• ${\displaystyle \neg (\neg a)=a}$ 

Leis de De Morgan

• ${\displaystyle \neg (a\vee b)=\neg a\wedge \neg b}$ 
• ${\displaystyle \neg (a\wedge b)=\neg a\vee \neg b}$ 

Leis de Absorção

• ${\displaystyle a\vee (a\wedge b)=a}$ 
• ${\displaystyle a\wedge (a\vee b)=a}$ 

Elementos Absorventes

• ${\displaystyle a\vee 1=1}$ 
• ${\displaystyle a\wedge 0=0}$ 

Negações do Zero e do Um

• ${\displaystyle \neg 0=1}$ 
• ${\displaystyle \neg 1=0}$ 

Definições alternativas da operação binária ${\displaystyle \veebar }$  (também denotado por ${\displaystyle \oplus }$ , é geralmente chamado de "xor" ou de "ou exclusivo")

• ${\displaystyle a\veebar b=(a\vee b)\wedge (\neg a\vee \neg b)}$ 
• ${\displaystyle a\veebar b=(a\wedge \neg b)\vee (\neg a\wedge b)}$ 

Dado uma álgebra booliana sobre ${\displaystyle X}$ , é válido para quaisquer ${\displaystyle a,b\in X}$ :

• ${\displaystyle a\vee b=b}$  se e somente se ${\displaystyle a\wedge b=a}$ 

A relação ${\displaystyle \leq }$  definida como ${\displaystyle a\leq b}$  se e somente se uma das duas condições equivalentes acima é satisfeita é uma relação de ordem em ${\displaystyle X}$ . O supremo e o ínfimo do conjunto ${\displaystyle \{a,b\}}$  são ${\displaystyle a\vee b}$  e ${\displaystyle a\wedge b}$ , respectivamente.

Um homomorfismo entre duas álgebras boolianas ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$  é uma função ${\displaystyle f:A\to B}$  que para quaisquer ${\displaystyle a,b\in A}$ :

• ${\displaystyle f(a\vee b)=f(a)\vee f(b)}$ 
• ${\displaystyle f(a\wedge b)=f(a)\wedge f(b)}$ 
• ${\displaystyle f(0)=0}$ 
• ${\displaystyle f(1)=1}$ 

Uma consequência é que ${\displaystyle f(\neg a)=\neg f(a)}$ .

Um isomorfismo entre duas álgebras boolianas ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$  é um homomorfismo bijetor entre ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$ . O inverso de um isomorfismo é um isomorfismo. Se existe um isomorfismo entre ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$ , dizemos que ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$  são isomorfos.

• Reticulado
• Ultrafiltro
• Princípio do terceiro excluído
• Números binários
• Lógica binária
• Tabela verdade
• Função booliana
• Circuito digital
• Forma canónica
• Sistema formal
• Mapa de Karnaugh
• Diagrama de Venn
• Álgebra de Heyting

Notas