Filtr – rodzina w jakimś sensie dużych zbiorów.
Duży zbiór powinien spełniać następujące własności:
Rodzina zbiorów spełniająca powyższe wymagania (jako rodzina zbiorów dużych) jest właśnie filtrem zbiorów, patrz poniżej.
W topologii filtr jest wiązany z rodziną otoczeń punktu. I znowu spełnione są trzy wyżej wspomniane własności:
Niech będzie porządkiem częściowym. Powiemy, że zbiór jest filtrem w zbiorze uporządkowanym jeśli następujące warunki są spełnione:
Filtr jest właściwy jeśli Jeśli to filtr jest niewłaściwy.
Jeśli porządek jest półkratą dolną (dla każdych istnieje kres dolny ), to warunki (ii)+(iii) są równoważne z warunkiem
Ponieważ algebra Boole’a jest także zbiorem częściowo uporządkowanym, to definicja filtru na porządkach częściowych może być przeniesiona bez zmian na algebry Boole’a. Możemy jednak wykorzystać fakt, że porządek boole’owski jest związany z operacjami algebry i możemy sformułować definicję filtru trochę inaczej.
Niech będzie algebrą Boole’a. Powiemy, że zbiór jest filtrem w algebrze Boole’a jeśli następujące warunki są spełnione:
Filtr jest właściwy jeśli dodatkowo
Należy podkreślić, że powyższa definicja i ta przeniesiona z porządków częściowych są równoważne.
Szczególnym przypadkiem algebry Boole’a jest rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru (z operacjami sumy, przekroju i dopełnienia zbiorów). Zatem sformułowana powyżej definicja filtru w algebrze Boole’a może być powtórzona bez zmian dla podzbiorów zbioru Sformułujemy tę definicję jeszcze raz dla podkreślenia znaczenia intuicji, że filtr to rodzina dużych podzbiorów .
Niech będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina podzbiorów zbioru jest filtrem podzbiorów zbioru jeśli następujące warunki są spełnione:
Mówimy, że filtr podzbiorów liczby kardynalnej jest jednorodny, gdy tzn. filtr nie zawiera podzbiorów zbioru mocy mniejszej niż
Charakterem filtru nazywamy liczbę
Filtr właściwy w porządku częściowym jest filtrem maksymalnym jeśli jedynym filtrem właściwym zawierającym jest samo
Filtry maksymalne są też często nazywane ultrafiltrami, szczególnie w odniesieniu do filtrów w algebrach Boole’a i filtrów podzbiorów danego zbioru.
Filtr właściwy w górnej półkracie jest filtrem pierwszym jeśli następujący warunek jest spełniony:
Innymi słowy, filtr jest filtrem pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy zbior jest ideałem pierwszym.
Jeśli jest porządkiem liniowym, to każdy filtr jest filtrem pierwszym. Jeśli jest kratą rozdzielną, to każdy filtr maksymalny jest filtrem pierwszym.
Jeśli jest właściwym filtrem w algebrze Boole’a następujące warunki są równoważne:
This article uses material from the Wikipedia Polski article Filtr (matematyka), which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Treść udostępniana na licencji CC BY-SA 4.0, jeśli nie podano inaczej. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Polski (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.