Algebra Uniwersalna: Dział algebry wyższej

Algebra uniwersalna wraz z teorią kategorii stanowią matematyczne podstawy teorii specyfikacji algebraicznych. Podstawowym pojęciem algebry uniwersalnej jest pojęcie algebry (nazywanej często algebrą uniwersalną; wtedy cały dział nazywa się algebrą ogólną), zbioru A wyposażonego w pewien zbiór ${\displaystyle \Omega }$ operacji n-arnych nazywany sygnaturą. Każda struktura algebraiczna (grupoid, półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą.

Zobacz też: Algebra ogólna.

Niech ${\textstyle D=\operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i=0}^{n}D_{i}}$  będzie rozłączną sumą zbiorów. Elementy zbioru ${\displaystyle D}$  nazywamy symbolami i interpretujemy jako symbole działań, przy czym ${\displaystyle d_{k}\in D_{k}}$  są symbolami działań ${\displaystyle k}$ -argumentowych. Algebrą nazwiemy zbiór ${\displaystyle A}$  wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi ${\displaystyle d_{k}\in D_{k}}$  ${\displaystyle k}$ -argumentowego działania ${\displaystyle \phi _{k}\colon A^{k}\to A.}$  Bardzo często wygodnie jest utożsamiać symbole ${\displaystyle d_{k}}$  z działaniami ${\displaystyle \phi _{k}.}$ 

Algebrę można zdefiniować także w następujący sposób. Parę ${\displaystyle {\mathcal {F}}=(F,\mu ),}$  gdzie ${\displaystyle F}$  jest zbiorem, a ${\displaystyle \mu \colon F\to \mathbb {N} }$  nazywa się typem algebry. Parę ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A,F_{A})}$  nazywa się algebrą typu ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  jeśli zbiory ${\displaystyle F_{A}}$  i ${\displaystyle F}$  są równoliczne i każdemu ${\displaystyle f\in F}$  odpowiada ${\displaystyle f_{A}\in F_{A}}$  taki, że ${\displaystyle f_{A}\colon A^{\mu (f)}\to A.}$  Element ${\displaystyle f_{A}}$  nazywa się działaniem lub operacją ${\displaystyle \mu (f)}$ -argumentową.

Półgrupa

Algebrę ${\displaystyle G}$  w której ${\displaystyle D_{0}=\emptyset ,\ D_{1}=\emptyset ,\ D_{2}=\{\circ \},}$  a ponadto działanie ${\displaystyle \circ }$  jest łączne, tzn. dla każdych ${\displaystyle a,b,c\in G}$  zachodzi

${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$ 

nazywa się półgrupą.

Grupa

Algebrę ${\displaystyle G}$  w której ${\displaystyle D_{0}=\{e\},\ D_{1}=\{^{-1}\},\ D_{2}=\{\circ \},}$  działanie ${\displaystyle \circ }$  jest łączne, a ponadto dla każdego ${\displaystyle a\in G}$ 

${\displaystyle a\circ e=a,}$ 
${\displaystyle a\circ a^{-1}=e}$ 

nazywa się grupą.

Krata

Krata to algebra ${\displaystyle A}$  w której ${\displaystyle D_{0}=\emptyset ,\ D_{1}=\emptyset \ D_{2}=\{\lor ,\land \},}$  a ponadto dla każdych ${\displaystyle x,y,z\in A}$ 

1.	${\displaystyle x\land x=x}$	${\displaystyle x\lor x=x}$
2.	${\displaystyle (x\land y)\land z=x\land (y\land z)}$	${\displaystyle (x\lor y)\lor z=x\lor (y\lor z)}$
3.	${\displaystyle x\land y=y\land x}$	${\displaystyle x\lor y=y\lor x}$
4.	${\displaystyle (x\land y)\lor y=y}$	${\displaystyle (x\lor y)\land y=y}$

Podalgebrą algebry ${\displaystyle A}$  z działaniami ${\displaystyle F_{A}}$  nazywa się niepusty zbiór ${\displaystyle B\subseteq A}$  taki, że dla każdego działania ${\displaystyle \phi \in F_{A}}$  obcięcie ${\displaystyle \phi |_{B}}$  jest działaniem w ${\displaystyle B.}$ 

Relację równoważności ${\displaystyle \equiv }$  w algebrze ${\displaystyle A}$  nazywa się kongruencją jeśli dla każdego ${\displaystyle d_{k}\in D_{k}}$  i dla każdych ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\in A}$ 

${\displaystyle x_{1}\equiv y_{1}\wedge x_{2}\equiv y_{2}\wedge \ldots \wedge x_{k}\equiv y_{k}\Rightarrow d_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})\equiv d_{k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{k}).}$ 

Zobacz też: Zbiór ilorazowy.

Mając kongruencję ${\displaystyle \equiv }$  w algebrze ${\displaystyle A}$  można skonstruować algebrę tego samego typu co ${\displaystyle A.}$  Niech ${\displaystyle A/_{\equiv }}$  będzie zbiorem ilorazowym. Definiujemy ${\displaystyle B:=A/_{\equiv }}$  oraz ${\displaystyle \phi _{\equiv }\colon B^{k}\to B}$  wzorem

${\displaystyle \phi _{\equiv }([x_{1}],[x_{2}],\dots ,[x_{k}]):=[\phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})]}$ 

dla ${\displaystyle k}$ -argumentowego działania ${\displaystyle \phi .}$  ${\displaystyle B}$  z tak zdefiniowanymi działaniami zazywamy algebrą ilorazową. Działania ${\displaystyle \phi _{\equiv }}$  są dobrze określone, tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}.}$ 

Homomorfizmem algebr ${\displaystyle A}$  i ${\displaystyle B}$  ze zbiorem symboli ${\textstyle D=\operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i=0}^{n}D_{i}}$  nazywa się funkcję ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$  taką, że dla każdego ${\displaystyle d_{k}\in D_{k}}$  i dla każdych ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}\in A}$ 

${\displaystyle \phi (d_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}))=d_{k}(\phi (x_{1}),\phi (x_{2}),\dots ,\phi (x_{k})).}$ 

• algebra

• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H.P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. (monografia dostępna w sieci)
• А.Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974.brak strony w książce
• Л. А. Скорняков: Элементы общей алгебры. Wyd. 1. Наука, 1983.brak strony w książce

• Elementy algebry uniwersalnej
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Universal Algebra, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-01].