Аполлоны Теорем

Энэ теорем нь өгөгдсөн ABC гурвалжны хувьд хэрэв D нь BC талыг n:m (эсвэл ${\displaystyle mBD=nDC}$) гэсэн харьцаатайгаар хуваасан дурын цэг бол

${\displaystyle mAB^{2}+nAC^{2}=mBD^{2}+nDC^{2}+(m+n)AD^{2}.}$

биелэнэ.

• ${\displaystyle m=n(=1)}$  үед AD нь BC тал дээр буусан медиан болох бөгөөд теорем дараах хэлбэрт шилжинэ

${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BD^{2}+DC^{2}+2AD^{2}.\,\!}$ ${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BD^{2}+DC^{2}+2AD^{2}.\,\!}$ 

• Үүн дээр нэмээд AB = AC гэвэл адил талт гурвалжин болох бөгөөд улмаар теорем нь Пифагорын теорем болон хувирна

${\displaystyle AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}(=AC^{2}).\,\!}$ 

Энгийнээр аливаа гурвалжин ${\displaystyle ABC\,\!}$ -ын хувьд хэрэв ${\displaystyle AD\,\!}$  нь медиан бол ${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}\,\!}$ = ${\displaystyle 2(AD^{2}+BD^{2})\,\!}$  биелэнэ. Энэ теоремыг батлахын тулд ${\displaystyle BC\,\!}$  тал дээр ${\displaystyle A\,\!}$  оройгоос ${\displaystyle AX\,\!}$  перпендикулярыг буулгая. Тэгвэл ${\displaystyle ABX\,\!}$  болон ${\displaystyle ACX\,\!}$  гурвалжнуудын хувьд Пифагорын теоремыг хэрэглэвэл

${\displaystyle AB^{2}=AX^{2}+BX^{2}\,\!}$ 

=${\displaystyle AX^{2}+(BD+DX)^{2}\,\!}$ 

=${\displaystyle AX^{2}+BD^{2}+DX^{2}+2.BD.DX\,\!}$  ...........(i)

болон

${\displaystyle AC^{2}=AX^{2}+CX^{2}\,\!}$ 

=${\displaystyle AX^{2}+(CD-DX)^{2}\,\!}$ 

=${\displaystyle AX^{2}+CD^{2}+DX^{2}-2.CD.DX\,\!}$  ...........(ii)

болно.

(i) болон (ii) тэгшитгэлүүдийг нэмбэл

${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}\,\!}$ 

=${\displaystyle AX^{2}+BD^{2}+DX^{2}+2.BD.DX+AX^{2}+CD^{2}+DX^{2}-2.CD.DX\,\!}$ 

=${\displaystyle 2(AX^{2}+DX^{2}+BD^{2})\,\!}$  { ${\displaystyle BD=DC\,\!}$  учраас, ${\displaystyle 2.BD.DX=2.DC.DX\,\!}$  болно}

=${\displaystyle 2(AX^{2}+DX^{2})+2BD^{2}\,\!}$ 

=${\displaystyle 2(AD^{2}+BD^{2})\,\!}$  {${\displaystyle AXD\,\!}$  нь тэгш өнцөг учраас}

Теорем батлагдав.

• Стюартын теорем
• Параллелограмын хууль
• Пифагорын теорем
• Менелайн теорем
• Чевийн теорем