Unitates Planckianae

299 792 458 m s⁻¹" class="duhoc-la texhtml">c, G, ℏ, k_B et k_e.

... die Möglichkeit gegeben ist, Einheiten für Länge, Masse, Zeit und Temperatur aufzustellen, welche, unabhängig von speciellen Körpern oder Substanzen, ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch ausserirdische und aussermenschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als »natürliche Maasseinheiten« bezeichnet werden können.

... possibile est quasdam unitates longitudinis, massae, temporis temperaturaeque sic definire ut e specialibus corporibus vel materie non dependeant, ut semper et per omnes civitates, extraterrestribus vel haud humanis inclusis, significationes suas servent, ut igitur "unitates naturales mensurae" appellari possint.

– Maximilianus Planck, "Über irreversible Strahlungsvorgänge"

Ad systema mensurae Planckianum definiendum, hae quantitates constantes adhibentur:

• c, celeritas lucis in vacuo
• G, constans gravitatis
• ℏ, constans Planckiana minuta
• k_e, constans Coulombiana
• k_B, constans Boltzmanniana

Unitates Planckianae emergunt numerum unius parti numerali talium quantitatum constantium imponendo et systema quinque aequationum linearium solvendo.

Nomen	Dimensio	Aequatio	Mensura ad SI versa
Longitudo Planckiana	longitudo (L)	${\displaystyle l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}}$	1.616255 × 10−35 m
Massa Planckiana	massa (M)	${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}}$	2.176434 × 10−8 kg
Tempus Planckianum	tempus (T)	${\displaystyle t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}}$	5.391247 × 10−44 s
Onus electricum Planckianum	onus electricum (Q)	${\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{k_{\text{e}}}}}={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}={\frac {e}{\sqrt {\alpha }}}}$	1.875545956 × 10−18 C
Temperatura Planckiana	temperatura (Θ)	${\displaystyle T_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk_{\text{B}}^{2}}}}}$	1.416784 × 1032 K

Forma originalis systematis a Maximiliano Planck proposita constantem Planckianam (h) in loco constantis Planckianae minutae (ℏ) adhibebat et constante Coulombiana carebat. Idcirco unitates originales erant factoris ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\approx 2.5066}$  maiores hodiernis unitatibus et sine ulla unitate oneris electrici.

Constantes quae systema Planckianum definiunt, cum per ipsas unitates Planckianas exprimantur, partem numeralem habent unius:

${\displaystyle {\begin{aligned}c&=1\ l_{\text{P}}\cdot t_{\text{P}}^{-1}\\G&=1\ l_{\text{P}}^{3}\cdot t_{\text{P}}^{-2}\cdot m_{\text{P}}^{-1}\\\hbar &=1\ l_{\text{P}}^{3}\cdot t_{\text{P}}^{-2}\cdot m_{\text{P}}^{-1}\\k_{\text{B}}&=1\ l_{\text{P}}^{2}\cdot t_{\text{P}}^{-2}\cdot m_{\text{P}}\cdot T_{\text{P}}^{-1}\\k_{\text{e}}&=1\ l_{\text{P}}^{3}\cdot t_{\text{P}}^{-2}\cdot m_{\text{P}}\cdot q_{\text{P}}^{-2}\end{aligned}}}$ 

Proportio inter unitates Planckianae et unitates Stoneyanas est ${\displaystyle {\sqrt {{1}/{\alpha }}}\approx 11.7}$ . Idcirco: ${\displaystyle l_{\text{S}}={\sqrt {\alpha }}\,l_{\text{P}};}$  ${\displaystyle m_{\text{S}}={\sqrt {\alpha }}\,m_{\text{P}};}$  ${\displaystyle t_{\text{S}}={\sqrt {\alpha }}\,t_{\text{P}};}$  ${\displaystyle q_{\text{S}}={\sqrt {\alpha }}\,q_{\text{P}}.}$ 

• Longitudo Planckiana
• Massa Planckiana
• Celeritas lucis
• Constans Planckiana
• Constans Coulombiana
• Constans gravitatis
• Onus electricum Planckianum
• Radius Schwarzschildianus
• Systema internationale unitatum
• Temperatura Planckiana
• Tempus Planckianum
• Unitates Stoneyanae