프레넬 방정식 (Fresnel equations ) 또는 프레넬 공식 (Fresnel's formulas )은 반사계수와 투과계수 에 관한 것으로 한 매질과 광학적 특성 즉, 굴절률 이 다른 매질 의 계면에서 반사 또는 투과 진폭을 입사진폭으로 나눈 값을 말한다. 프랑스 의 물리학자 오귀스탱 장 프레넬 이 유도하였다.
프레넬 방정식 개요
굴절률이 n 1 인 매질에서 n 2 인 매질로 빛이 투과할 때 반사 와 굴절 이 일어난다. 프레넬 방정식은 이 성질을 반사계수, 투과계수 로 나누어 성분을 분석하여 표현한 방정식이다.
이 방정식에는 간단한 가정이 있는데, 첫 번째는 빛이 한 매질에서 다른 매질로 투과할 때, 그 면이 균일하고 평평한 평면이며, 둘째는 빛이 투과할 때 평면파라는 것이다.
진폭 방정식
진폭 방정식 (amplitude equations )은 빛을 전자기파로 취급하여 반사의 법칙 , 굴절의 법칙 과 이들의 반사광과 굴절광의 세기를 표현한 것이다. 빛이 경계면을 지날 때의 전기장과 자기장의 경계조건을 빛의 파동 방정식에 적용하여 구현하였다.
프레넬 방정식에 쓰이는 변수들 표기법 입사파를 i , 반사파를 r , 투과파를 t 로 쓰자.
반사, 굴절 입사파와 반사파 , 굴절파의 위상은 같다.
K i r − ω t = K r r − ω t = K t r − ω t {\displaystyle {\boldsymbol {K}}_{i}{\boldsymbol {r}}-\omega t={\boldsymbol {K}}_{r}{\boldsymbol {r}}-\omega t={\boldsymbol {K}}_{t}{\boldsymbol {r}}-\omega t} K i = K i sin θ i x ¯ + K i cos θ i z ¯ {\displaystyle {\boldsymbol {K}}_{i}=K_{i}\sin \theta _{i}{\bar {x}}+K_{i}\cos \theta _{i}{\bar {z}}} K r = K r sin θ r x ¯ − K r cos θ r z ¯ {\displaystyle {\boldsymbol {K}}_{r}=K_{r}\sin \theta _{r}{\bar {x}}-K_{r}\cos \theta _{r}{\bar {z}}} K t = K t sin θ t x ¯ + K t cos θ t z ¯ {\displaystyle {\boldsymbol {K}}_{t}=K_{t}\sin \theta _{t}{\bar {x}}+K_{t}\cos \theta _{t}{\bar {z}}} z = 0 {\displaystyle z=0} 일때
K i sin θ i x ¯ = K r sin θ r x ¯ = K t sin θ t x ¯ {\displaystyle K_{i}\sin \theta _{i}{\bar {x}}=K_{r}\sin \theta _{r}{\bar {x}}=K_{t}\sin \theta _{t}{\bar {x}}} K i sin θ i = K r sin θ r = K t sin θ t {\displaystyle K_{i}\sin \theta _{i}=K_{r}\sin \theta _{r}=K_{t}\sin \theta _{t}\ } 이고
K = n ω c {\displaystyle K=n{\frac {\omega }{c}}} n i = n r {\displaystyle n_{i}=n_{r}} 이므로
sin θ i = sin θ r {\displaystyle \sin \theta _{i}=\sin \theta _{r}} θ i = θ r {\displaystyle \theta _{i}=\theta _{r}} 을 만족한다 이를 반사의 법칙 이라고 한다. 그리고
n i sin θ i = n t sin θ t {\displaystyle n_{i}\sin \theta _{i}=n_{t}\sin \theta _{t}} 이다. 이를 스넬의 법칙 이라고 한다.
파동방정식 전자기파인 빛을 파동형태로 나타낸 방정식으로 빛이 투과하는 경계면과 법선에 대하여 입사파, 투과파, 반사파로 나누어 나타낼 수 있으며, 각 파들의 계수들은 서로 관련이 있다.
멕스웰 방정식 및 표기법은 다음과 같다 K × E = ω B = ω μ H {\displaystyle {\boldsymbol {K}}\times {\boldsymbol {E}}={\omega }{\boldsymbol {B}}={\omega }{\mu }{\boldsymbol {H}}} H = n ω μ k ¯ × E {\displaystyle {\boldsymbol {H}}={\frac {n}{{\omega }{\mu }}}{\bar {k}}\times {\boldsymbol {E}}} τ = K r − ω t {\displaystyle \tau ={\boldsymbol {K}}{\boldsymbol {r}}-\omega t} 입사파 빛이 경계면에 입사하는 파로 전기장과 자기장의 각각의 x, y, z성분은 다음과 같다.
E x i = − I ∥ cos θ i e i τ i {\displaystyle E_{x}^{i}=-I_{\parallel }\cos \theta _{i}e^{i\tau _{i}}} E y i = I ⊥ e i τ i {\displaystyle E_{y}^{i}=I_{\bot }e^{i\tau _{i}}} E z i = I ∥ sin θ i e i τ i {\displaystyle E_{z}^{i}=I_{\parallel }\sin \theta _{i}e^{i\tau _{i}}} H x i = − I ⊥ cos θ i n i μ i c e i τ i {\displaystyle H_{x}^{i}=-I_{\bot }\cos \theta _{i}{\frac {n_{i}}{\mu _{i}c}}e^{i\tau _{i}}} H y i = − I ∥ n i μ i c e i τ i {\displaystyle H_{y}^{i}=-I_{\parallel }{\frac {n_{i}}{\mu _{i}c}}e^{i\tau _{i}}} H z i = I ⊥ sin θ i n i μ i c e i τ i {\displaystyle H_{z}^{i}=I_{\bot }\sin \theta _{i}{\frac {n_{i}}{\mu _{i}c}}e^{i\tau _{i}}} 투과파 빛이 경계면을 투과하는 파로 전기장과 자기장의 각각의 x, y, z성분은 다음과 같다.
E x t = − T ∥ cos θ t e i τ t {\displaystyle E_{x}^{t}=-T_{\parallel }\cos \theta _{t}e^{i\tau _{t}}} E y t = T ⊥ e i τ t {\displaystyle E_{y}^{t}=T_{\bot }e^{i\tau _{t}}} E z t = T ∥ sin θ t e i τ t {\displaystyle E_{z}^{t}=T_{\parallel }\sin \theta _{t}e^{i\tau _{t}}} H x t = − T ⊥ cos θ t n t μ t c e i τ t {\displaystyle H_{x}^{t}=-T_{\bot }\cos \theta _{t}{\frac {n_{t}}{\mu _{t}c}}e^{i\tau _{t}}} H y t = − T ∥ n t μ t c e i τ t {\displaystyle H_{y}^{t}=-T_{\parallel }{\frac {n_{t}}{\mu _{t}c}}e^{i\tau _{t}}} H z t = T ⊥ sin θ t n t μ t c e i τ t {\displaystyle H_{z}^{t}=T_{\bot }\sin \theta _{t}{\frac {n_{t}}{\mu _{t}c}}e^{i\tau _{t}}} 반사파 빛이 반사하는 파로 전기장과 자기장의 각각의 x, y, z성분은 다음과 같다.
E x r = − R ∥ cos θ r e i τ r {\displaystyle E_{x}^{r}=-R_{\parallel }\cos \theta _{r}e^{i\tau _{r}}} E y r = R ⊥ e i τ r {\displaystyle E_{y}^{r}=R_{\bot }e^{i\tau _{r}}} E z r = R ∥ sin θ r e i τ r {\displaystyle E_{z}^{r}=R_{\parallel }\sin \theta _{r}e^{i\tau _{r}}} H x r = − R ⊥ cos θ r n t μ r c e i τ r {\displaystyle H_{x}^{r}=-R_{\bot }\cos \theta _{r}{\frac {n_{t}}{\mu _{r}c}}e^{i\tau _{r}}} H y r = − R ∥ n r μ r c e i τ r {\displaystyle H_{y}^{r}=-R_{\parallel }{\frac {n_{r}}{\mu _{r}c}}e^{i\tau _{r}}} H z r = R ⊥ sin θ r n r μ r c e i τ r {\displaystyle H_{z}^{r}=R_{\bot }\sin \theta _{r}{\frac {n_{r}}{\mu _{r}c}}e^{i\tau _{r}}} 경계조건 멕스웰 방정식 경계조건 z ¯ × ( E 2 − E 1 ) = 0 {\displaystyle {\bar {z}}\times \left({\boldsymbol {E_{2}}}-{\boldsymbol {E_{1}}}\right)=0} z ¯ ⋅ ( D 2 − D 1 ) = 0 {\displaystyle {\bar {z}}\cdot \left({\boldsymbol {D_{2}}}-{\boldsymbol {D_{1}}}\right)=0} z ¯ × ( H 2 − H 1 ) = 0 {\displaystyle {\bar {z}}\times \left({\boldsymbol {H_{2}}}-{\boldsymbol {H_{1}}}\right)=0} z ¯ ⋅ ( B 2 − B 1 ) = 0 {\displaystyle {\bar {z}}\cdot \left({\boldsymbol {B_{2}}}-{\boldsymbol {B_{1}}}\right)=0} 이를 풀어 쓰면 다음과 같다
E x i + E x r = E x t {\displaystyle E_{x}^{i}+E_{x}^{r}=E_{x}^{t}} E y i + E y r = E y t {\displaystyle E_{y}^{i}+E_{y}^{r}=E_{y}^{t}} H x i + H x r = H x t {\displaystyle H_{x}^{i}+H_{x}^{r}=H_{x}^{t}} H y i + H y r = H y t {\displaystyle H_{y}^{i}+H_{y}^{r}=H_{y}^{t}} D z i + D z r = D z t {\displaystyle D_{z}^{i}+D_{z}^{r}=D_{z}^{t}} B z i + B z r = B z t {\displaystyle B_{z}^{i}+B_{z}^{r}=B_{z}^{t}} 이때 경계면에서는 z = 0 {\displaystyle z=0} 이므로 다음과 같다.
τ i = τ r = τ t {\displaystyle \tau _{i}=\tau _{r}=\tau _{t}} 프레넬 계수 주어진 프레넬 방정식에 경계조건을 대입하면 방정식의 계수를 구할 수 있다. 이들을 프레넬 계수 (Fresnell coefficients )라고 하고, 다음과 같다.
R ⊥ = n 1 cos θ i − n 2 cos θ t n 1 cos θ i + n 2 cos θ t I ⊥ {\displaystyle R_{\bot }={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}I_{\bot }} T ⊥ = 2 n 1 cos θ i n 1 cos θ i + n 2 cos θ t I ⊥ {\displaystyle T_{\bot }={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}I_{\bot }} R ∥ = n 2 cos θ i − n 1 cos θ t n 1 cos θ t + n 2 cos θ i I ∥ {\displaystyle R_{\parallel }={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{t}}+n_{2}\cos \theta _{\text{i}}}}I_{\parallel }} T ∥ = 2 n 1 cos θ i n 1 cos θ t + n 2 cos θ i I ∥ {\displaystyle T_{\parallel }={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{t}}+n_{2}\cos \theta _{\text{i}}}}I_{\parallel }} 반사율과 투과율
같이 보기
외부 링크
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