Fresnelsche Formeln: Formeln aus dem Bereich der Wellenoptik

Die fresnelschen Formeln (nach Augustin Jean Fresnel) beschreiben quantitativ die Reflexion und Transmission einer ebenen, elektromagnetischen Welle an einer ebenen Grenzfläche.

Der zunächst berechnete Reflexions- und Transmissionsfaktor ist das Verhältnis der reflektierten bzw. transmittierten Amplitude zu jener der einfallenden Welle. Durch Quadrieren erhält man den Reflexions- bzw. den Transmissionsgrad, welche als Energiegrößen Intensitätsverhältnisse darstellen.

Vorbetrachtungen

Die fresnelschen Formeln können aus den maxwellschen Gleichungen hergeleitet werden, dabei nutzt man Sonderfälle der Randbedingungen elektromagnetischer Wellen an einer ladungs- und stromfreien Grenzschicht:

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Hierbei ist Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  die Normale auf die Grenzfläche und die anderen Größen beschreiben Magnetfeld und elektrisches Feld in den beiden Medien. Die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke E und der magnetischen Feldstärke H sind an der Grenzfläche stetig, ebenso wie die Normalkomponente der elektrischen Flussdichte D und der magnetischen Flussdichte B (tangential und normal bezieht sich auf die Grenzfläche).

Abhängig von der Polarisation der einfallenden Welle ergeben sich unterschiedliche Randbedingungen für das Auftreffen einer elektromagnetischen Welle auf eine optische Grenzfläche. Jede beliebig polarisierte elektromagnetische Welle lässt sich als Superposition zweier linear polarisierter Wellen, die senkrecht zueinander schwingen, darstellen. Als Bezugsebene dient die Einfallsebene, die vom Wellenvektor Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  der einfallenden Welle und der Flächennormalen Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  aufgespannt wird. Eine einfallende, beliebig polarisierte Welle lässt sich also als Superposition einer parallel (p) und senkrecht (s) zur Einfallsebene polarisierten Welle schreiben:

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Dabei ist Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  der Feldvektor des elektrischen Feldes, Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  sind die Einheitsvektoren für s- und p-Polarisation, und die Parameter Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  entsprechen beliebigen Phasenverschiebungen.

Wegen des Superpositionsprinzips reicht es aus, die Amplitudenverhältnisse für parallel und senkrecht zur Einfallsebene linear polarisierte Wellen zu berechnen.

Die Polarisationsrichtung (senkrecht bzw. parallel zur Einfallsebene) bleibt nach der Reflexion unverändert.

Allgemeiner Fall

Im allgemeinen Fall haben beide Medien eine unterschiedliche Permittivität Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  und Permeabilität Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  sowie einen komplexen Brechungsindex

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Vorbetrachtung für Gleichungen mit eliminiertem Brechungswinkel

Im Allgemeinen sind für die Berechnung der Reflexions- bzw. Transmissionsgrade mit den fresnelschen Formeln sowohl der Brechungsindex der beteiligten Medien als auch der Einfalls- und Brechungswinkel notwendig.

Um neben diesen allgemeinen Gleichungen auch eine vom Brechungswinkel unabhängige Form anzugeben, muss der Brechungswinkel aus der allgemeinen Form eliminiert werden. Da beide Winkel (Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  und Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität ) über das snelliussche Brechungsgesetz verknüpft sind, kann dies wie folgt (mit Hilfe einer Falleingrenzung) erreicht werden:

    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  (Brechungsgesetz)

Quadrieren liefert (unter Nutzung einer trigonometrischen Umrechnung) folgenden Zusammenhang:

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Umgestellt ergibt sich daraus:

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Als Lösung wird der Fall mit dem positiven Vorzeichen genutzt, damit später der Reflexionsfaktor r ≤ 1 ist.

Senkrechte Polarisation

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Bei der senkrechten Polarisation bildet die elektrische Komponente mit der Einfallsebene einen rechten Winkel.

Als erstes betrachtet man die Komponente, die linear senkrecht (Index: s) zur Einfallsebene polarisiert ist. Sie wird in der Literatur auch als transversalelektrische (TE) Komponente bezeichnet.

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Mit dem Transmissionsfaktor Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität , Reflexionsfaktor Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  und den relativen magnetischen Permeabilitäten Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  bzw. Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität . Hierbei beziehen sich die Koeffizienten auf das elektrische Feld.

Parallele Polarisation

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Bei paralleler Polarisation schwingt die elektrische Komponente in der Einfallsebene.
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Koordinatensystem für die Messung der E-Vektoren

Im anderen Fall wird die Amplitude einer in der Einfallsebene linear parallel (Index: p) polarisierten Welle betrachtet. Sie wird in der Literatur auch als transversalmagnetische (TM) Komponente bezeichnet. Hierbei beziehen sich die Koeffizienten auf das magnetische Feld.

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    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Die Richtungen der elektrischen Feldvektoren Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  bzw. Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  entsprechen den Richtungen der Vektoren Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  bzw. Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität , wobei Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  der Normalenvektor der Einfallsebene ist.

Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität

Für den in der Praxis häufigen Spezialfall, dass die beteiligten Materialien näherungsweise die gleiche magnetische Permeabilität besitzen (Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität ), z. B. Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  für nicht-magnetische Materialien, vereinfachen sich die fresnelschen Formeln wie folgt:

    Senkrechte Polarisation (TE)
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    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 
    Parallele Polarisation (TM)
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    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Spezialfall: dielektrische Materialien

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Amplitudenverhältnisse Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität , Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  (oben) und Reflexions-/ Transmissionsvermögen Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität , Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  (unten) für die Grenzfläche Luft Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  und Glas Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  (Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  und Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität ). Auf die Grenzfläche einfallendes Licht von der Luftseite (links) und von der Glasseite (rechts).

Ein weiterer Spezialfall ergibt sich für ideale Dielektrika, bei denen der Absorptionskoeffizient Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  des komplexen Brechungsindex gleich null ist. Das heißt, das Material auf beiden Seiten der Grenzfläche absorbiert die entsprechende elektromagnetische Strahlung nicht (Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität ). Es gilt:

    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Durch den Wegfall des Imaginärteils vereinfachen sich die fresnelschen Formeln wie folgt:

    Senkrechte Polarisation (TE)
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    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 
    Parallele Polarisation (TM)
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    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Hinweis: Das jeweils dritte Gleichheitszeichen ergibt sich durch Anwenden des Brechungsgesetzes Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  und Additionstheoremen. Die dabei getroffenen Annahmen sind für Einfallswinkel von 0° und 90° nicht gültig und die Formeln können daher nicht genutzt werden. Hierfür muss die ursprüngliche Form aus reinen Kosinustermen verwendet werden

Senkrechter Einfall

Eine weitere Vereinfachung ergibt sich für den Fall, dass der Einfallswinkel α gleich 0 ist (senkrechter Einfall):

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    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Fällt beispielsweise sichtbares Licht senkrecht auf die Grenzfläche Luft/Quarzglas, dann wird der Anteil

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der einfallenden Intensität unabhängig von der Polarisation reflektiert (vgl. Abschnitt Zusammenhang mit Reflexions- und Transmissionsgrad).

Diskussion der Amplitudenverhältnisse

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Partielle Reflexion und Transmission einer eindimensionalen Welle an einer Potentialstufe. Der Anteil der reflektierten und transmittierten Intensität einer elektromagnetischen Welle lässt sich mit den Fresnelschen Formeln berechnen.

Dort, wo die Amplitudenkoeffizienten reell und negativ sind, tritt ein Phasensprung von Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  auf (bei reell und positiv keine Phasenänderung):

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Das Amplitudenverhältnis Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  besitzt einen Nulldurchgang am Brewster-Winkel Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität :

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Beispiele: Brewster-Winkel für Luft-Glas Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  ist Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  und für Glas-Luft Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  ist Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität .

Für Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  werden ab einem bestimmten Winkel die Amplitudenverhältnisse komplex. Ab diesem kritischen Winkel oder Grenzwinkel tritt Totalreflexion auf. Der Grenzwinkel Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  entspricht dem Brechungswinkel Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  also Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität , d. h., die Welle läuft an der Grenzfläche entlang.

    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität    also   Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Beispiel: Grenzwinkel für Glas-Luft Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  ist Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität .

Diskussion der Amplitudenverhältnisse bei Röntgenstrahlung unter streifendem Einfall

Für Röntgenstrahlung mit einer Energie weit weg von den Absoptionskanten des Mediums ist die Absorption vernachlässigbar und der Brechungsindex ist reell (nicht komplex). Wenn die Strahlung in einem solchen Medium mit Brechungsindex Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  auf die Grenzfläche zu Vakuum oder Luft (mit Brechungsindex Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  und Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität ) trifft, lautet das snelliussche Brechungsgesetz unter streifendem Einfall (Einfallswinkel:Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität ) und streifendem Ausfall (Ausfallwinkel:Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität ) und der Definition Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität .

Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Damit entwickelt man die Fresnelschen Formeln unter streifenden Einfall für Winkel Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  und Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  um die 90°:

    Senkrechte Polarisation (TE)
    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 
    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Bemerkung: Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

    Parallele Polarisation (TM)
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    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Bemerkung: Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität .

Die Fresnelschen Formeln stimmen sowohl für senkrechte als auch parallele Polarisation überein. Man braucht die Polarisationsrichtung für Röntgenstrahlung unter streifendem Einfall nicht berücksichtigen!

Für genügend hohe Einfallswinkel Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  gilt:

    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Beim kritischen Winkel Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  ist mit Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  die Amplitude der elektrischen Feldstärke im Medium doppelt so hoch, wie die einfallende Amplitude. Die Intensität vervierfacht sich. Dies lässt sich durch die Entstehung einer stehenden Welle an der Grenzfläche verstehen. Gemäß der Wikipedia-Seite zum Snelliusschen Brechungsgesetz überlagern sich an der Grenzfläche die einfallende Welle Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  und die reflektierte Welle Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

zu

    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Ohne Einschränkung gilt für senkrechte Polarisation Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  und Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Für Einfallswinkel Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  beim kritischen Winkel der Totalreflexion Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  überlagern sich das einfallende und reflektierte Feld konstruktiv zu:

    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

und es bildet sich bei Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  ein Wellenbauch mit doppelter Amplitude und vierfacher Intensität Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität . Der nächste Wellenbauch vor der Grenzfläche entsteht falls Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  und damit bei Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  mit der Kreisfrequenz Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität .

Im Grenzfall kleiner Einfallswinkel Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  geht Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  und das einfallende und reflektierte Feld löschen sich aus:

    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Es bildet sich bei Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  ein Wellenknoten. Das stehende Wellenfeld ändert also seine Phasenlage um Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  zwischen Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  und Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität .

    Totalreflexion für senkrechte Polarisation (TE) und parallele Polarisation (TM)

Für Winkel Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  geringer als der Grenzwinkel Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  tritt für Röntgenstrahlung gemäß der Wikipedia-Seite Totalreflexion auf! Die Quadratwurzel Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  wird komplex.

    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 
    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Der Betrag der transmittierten Amplitude Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  nimmt linear mit dem Einfallswinkel Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  zu.

Unterhalb des Grenzwinkels Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  ist das Reflexionsvermögen Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität . Der totalreflektierende Spiegel ohne Absorption ist also ein idealer Spiegel! Aber auch oberhalb reflektiert der Spiegel mit Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  noch und zwar umso mehr je größer Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  ist. Die Absorption der Strahlung im Spiegelmaterial reduziert das Reflexionsvermögen.

Auf der Totalreflexion der Röntgenstrahlung an Materie beruhen eine Reihe von Anwendungen:

  • Röntgenstrahlen lassen sich mithilfe gekrümmter Spiegel fokussieren. Das ist eine umso interessantere Möglichkeit, als es keine Linsen für Röntgenstrahlung gibt. Das Wolter-Teleskop ist solch ein Röntgenteleskop.
  • Die Totalreflexion kann dazu benutzt werden um den Brechungsindex von Materie im Röntgenbereich zu bestimmen.
  • Röntgenbeugung und Röntgenabsorption werden bei Totalreflexion inhärent oberflächenempfindlich.

Zusammenhang mit Reflexions- und Transmissionsgrad

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Einfluss des komplexen Brechungsindex eines Materials (Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität ) auf das Reflexionsverhalten eines Lichtstrahls beim Auftreffen auf die Grenzfläche Luft/Material

Man betrachte ein Strahlenbündel, das auf die Grenzfläche eines isotropen, nicht-magnetischen Materials der Fläche Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  einfällt. Die Strahlquerschnitte des einfallenden, reflektierten bzw. transmittierten Strahls sind Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität , Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  bzw. Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität . Die Energie, die während einer Zeitspanne durch eine Fläche fließt, deren Normale parallel zur Energieflussrichtung Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  (bei isotropen Medien gleich Ausbreitungsrichtung Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität ) steht, ist gegeben durch den komplexen Poynting-Vektor Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität :

    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Die mittlere Energieflussdichte erhält man durch zeitliche Mittelwertbildung und einige Umformungen:

    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Die mittlere Energie, die pro Zeitspanne vom Strahlenbündel transportiert wird (mittlere Leistung, die auf Fläche Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  trifft), entspricht der mittleren Energieflussdichte mal der Querschnittsfläche, also

    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität , Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  bzw. Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität .

Allgemein (unpolarisiertes Licht) wird der Reflexionsgrad Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  (oft auch mit ρ bezeichnet) folgendermaßen definiert:

    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

und als Transmissionsgrad Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  (oft auch mit τ bezeichnet):

    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Die beiden Werte lassen sich nun mit Hilfe der fresnelschen Formeln berechnen, sie sind das Produkt des entsprechenden Reflexions- bzw. Transmissionsfaktors mit dessen konjugiert komplexem Wert.

    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 
    Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität 

Für ideale Dielektrika, die keine Absorption und daher nur reellwertige Brechungsindizes aufweisen, vereinfachen sich die Gleichungen zu:

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mit Fresnelsche Formeln: Vorbetrachtungen, Allgemeiner Fall, Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität  für die s- bzw. p-polarisierte Komponente.

Darüber hinaus sind der Reflexions- und Transmissionsgrad über folgende allgemeine Energiestrombilanz an einer Grenzfläche (keine Absorption, d. h. Absorptionsgrad ist null) miteinander verknüpft:

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Literatur

Commons: Fresnelsche Formeln – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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