ფუნქციონალური ანალიზი

ყველაზე უფრო კარგად შესწავლილია წრფივი სივრცეები და წრფივი ასახვები. ფუნქციონალური ანალიზისთვის დამახასიათებელია კლასიკური ანალიზის, ტოპოლოგიისა და ალგებრის მეთოდების შერწყმა

ისტორიულად წარმოიშვა დიფერენციალური და ინტეგრალური განტოლებების და გარდაქმნების (ტრანსფორმაციების), როგორიცაა ფურიეს გარდაქმნა, შესწავლიდან.

ყველაზე ზოგადი ობიექტები რომლებიც ფუნქციონალურ ანალიზში განიხილება არის ტოპოლოგიური ვექტორული სივრცეები. ერთ-ერთი ძირითადი ცნებაა ნორმირებული ვექტორული სივრცე, და განსაკუთრებით ბანახის სივრცე. ბანახის სივრცის მნიშვნელოვანი შემთხვევაა ჰილბერტის სივრცე, რა შემთხვევაშიც ნორმა სკალარული ნამრავლის საშუალებით განისაზღვრება.

ბანახის სივრცის კონკრეტული მაგალითებია L^p სივრცეები. L^p–ს ელემენტებია ისეთი ლებეგის აზრით ზომადი ფუნქციები რომელთა მოდულის p-ურ ხარისხს გააჩნია სასრული ინტეგრალი.

ფუნქციონალური ანალიზიში ასევე მნიშვნელოვანია ჰილბერტის და ბანახის სივრცეებზე განმარტებული უწყვეტი წრფივი ოპერატორების გამოკვლევა. ამათ ბუნებრივად მივყავართ C*-ალგებრების და სხვა სტრუქტურების განმარტებამდე, რომლებიც თავის მხრივ ფუნქციონალურ ანალიზის მნიშვნელოვან საგანს წარმოადგენენ.

ფუნქციონალური ანალიზი კერძოდ სწავლობს ნორმით აღჭურვილ ვექტორულ სივრცეებს. თეორიის განვითარება დაიწყო 20 საუკუნის დასაწყისიდან, დიდი წვლილი მიუძღვით აღმოსავლეთ-ევროპელ მათემატიკოსებს.

ამჟამად ფუნქციონალური ანალიზის ორი ძირითადი მიმართულების კლასიფიკაცია შეიძლება როგორც: ოპერატორთა თეორია (რომელიც განიხილავს ოპერატორს დამოუკიდებლად) და ოპერატორთა ალგებრის თეორია (რომელიც ოპერატორს განიხილავს სათანადო ალგებრის კონტექსტში). ამ უკანასკნელი მიმართულების აქტიური სფეროა ე.წ. C*-ალგებრათა შესწავლა და კლასიფიკაცია.

ფუნქციონალური ანალიზის კლასიკური შედეგებია: ღია, დახურული და შებრუნებული (open mapping, closed graph) "ფუნქციების" თეორემები; რისის წარმომადგენლობის თეორემები წრიფივი ფუნქციონალებისათვის; ამოზნექილი სივრცეებში კრაინისა და მილმანის თეორემა; ბანაჰ შტაინჰაუზის თეორემა; ფრედჰოლმის თეორია; ფუნქციონალური დიფერენციალური აღრიცხვა (functional calculus); გელფანდ - ნაიმარკის თეორია.

ფუნქციონალური ანალიზში კვლევა ძირითადად მიმდინარეობს ბანახის სივრცეებში, ხშირად უფრო სპეციალიზირებულად - ჰილბერტის სივრცეებში. კვლევის საგანია თავად ეს სივრცეები, წრფივი შემოსაზღვრული ოპერატორები მათზე და მათი ორადული სივრცეები . კიდევ უფრო შთამბეჭდავი შედეგები მიღებულია C*-ალგებრაში. კლასიკური სივრცეები ხშირად განიხილება სხვადასხვა ტოპოლოგიით. სახალისოდ დათვლილია, რომ ჰილბერტის სივრცე განხილულია 17 სხვადასხვა ტოპოლოგიით, ამათგან უფრო მნიშვნელოვანია: თავდაპირველი (ნორმის), სუსტი, სუსტი*, მაკეის, სუსტი ოპერატორის, ძლიერი ოპერატორის ტოპოლოგიები.

გარდა ზემოხსენებული კლასიკური ფუნქციონალური ანალიზისა 20 საუკუნის მეორე ნახევარში განვითარდა არაწრფივი ფუნქციონალური ანალიზი.

უკანასკნელ ხანებში ფუნქციონალური ანალიზის ერთ ერთ ყველაზე აქტიური სფეროა ე.წ. თავისუფალი ალბათობის თეორია, რომელიც შეისწავლის შემოუსაზღვრელ წრფივ ოპერატორებს. თავისუფალი ალბათობის კვლევას საფუძველი ჯონ ფონ ნოიმანმა ჩაუყარა.

ფუნქციონალური ანალიზის შედეგება გამოიყენება მათემატიკის, ფიზიკის მრავალ დარგში, განსაკუთრებით აღსანიშნავია კერძო წარმოებულ დიფერენციალურ განტოლებებსა და ალბათობის თეორიაში.

ფუნქციონალური ანალიზის ფუნდამენტური თეორემებია:

• ჰანი–ბანახის თეორემა
• ღია ასახვის თეორემა
• სპექტრალური თეორემები

• ორადული სივრცე
• საკუთრივი მნიშვნელობა
• სპექტრი (მათემატიკა)
• სტოუნ–ვაიერშტრასის თეორემა
• შეუღლებული ოპერატორები