Kerekítés

Célja többféle lehet:

• Becslés készítése, ekkor minden kerekítés felfelé vagy lefelé történik, felső illetve alsó becslés céljából
• A látszólagos pontosság elkerülése céljából. Például a munkaügyi ügynökség a munkanélküliek számát 100-ban adja meg.
• Egy fizikai mennyiség kerekítése a használt mértékegységhez. Például arányok átváltása egész számokra mandátumok kiosztásakor.

További indokok tizedestörtek esetén:

• Könnyebb olvashatóság
• Az ábrázolhatóság korlátai
• A szám irracionális, pontos értéke nem használható.

Pozitív számoknál szoktak beszélni felfelé, illetve lefelé kerekítésről. Negatív számoknál nem mindig egyértelmű, hogy a szerző a szám előjeles értékét vagy abszolútértékét kerekíti. Emiatt beszélnek nullához, illetve nullától való kerekítésről is.

A kerekítés jele ≈, ami arra utalhat, hogy az utána álló szám kerekített. Először Alfred George Greenhill használta, 1892-ben.

Kereskedői kerekítés

Az iskolában tanított kereskedői kerekítés szabályai nemnegatív számok esetén:

• Ha az első elhagyott jegy 0, 1, 2, 3 vagy 4, akkor lefelé kerekítünk;
• ha az első elhagyott jegy 5, 6, 7, 8 vagy 9, akkor felfelé kerekítünk.

Ezt a szabályt a DIN 1333 szabvány írja le. Példák:

• 13,3749… € ≈ 13,37 €
• 13,3750… € ≈ 13,38 €

Negatív számok esetén az abszolútértéket veszik figyelembe; tehát ha az első elhagyott jegy 5, 6, 7, 8 vagy 9, akkor a nullától kerekítenek, különben a nullához:

• −13,3749… € ≈ −13,37 €
• −13,3750… € ≈ −13,38 €

Szimmetrikus kerekítés

A szimmetrikus kerekítés hasonló a kereskedői becsléshez. Nevezik geodetikus, torzítatlan, matematikai, tudományos kerekítésnek is. Részletes szabályai:

• Ha az első elhagyott jegy 0, 1, 2, 3 vagy 4, akkor lefelé kerekítünk;
• ha az első elhagyott jegy 6, 7, 8 vagy 9, akkor felfelé kerekítünk;
• ha az első elhagyott jegy 5, és utána nem csupa nulla áll, akkor felfelé kerekítünk;
• ha az első elhagyott jegy 5, és utána nullák állnak, akkor úgy kerekítünk, hogy a kapott szám utolsó jegye páros legyen.

Ezt a módszert használják a numerikus matematikában, a technikában és a mérnöki tudományokban, és az IEEE-754 szabvány rögzíti. Lebegőpontos számábrázolások kettes számrendszerbeli alakjában is ezt használják. Angol neve Round to Even vagy Banker’s Rounding.

Példák:

• 2,2499 ≈ 2,2
• 2,2501 ≈ 2,3
• 2,2500 ≈ 2,2
• 2,3500 ≈ 2,4
• 2,4600 ≈ 2,5

Statisztikai szempontból a kereskedői becslés torzít, mivel a 0,5-et mindig csak felfelé kerekíti, lefelé soha. Szimmetrikus kerekítés esetén, ha az eloszlásban a kis és a nagy számok is ugyanolyan gyakoriak, a felfelé és a lefelé kerekítés ugyanolyan gyakori.

Összegtartó kerekítés

Összegtartó kerekítés esetén egy összeg tagjait kerekítik úgy, hogy az összeg ugyanaz maradjon. Így előfordulhat, hogy egy számot nem a hozzá közelebbi, hanem a távolabbi érték felé kerekítik.

Fontos alkalmazások: annak megállapítása, hogy egy választás után egy pártnak hány mandátuma lesz, illetve a teljes áfa felosztása a tagok között.

Az eljárás feltételezi, hogy az összes tag pozitív, illetve azonos előjelű. Ha a tagok között pozitív és negatív számok is vannak, akkor a Hare-Niemeyer-eljárás általánosítható: Először minden számot a hozzá legközelebbi kerek számra kerekít. Ha ezzel az összeg túl nagy lesz, akkor megkeresi az abszolútértékben legnagyobb felkerekítést, és megváltoztatja a kerekítés irányát.

Hogyha további kerekítésre van szükség, akkor, ha ismert a kiindulási szám, akkor célszerű azt kerekíteni, különben a kerekítés veszíthet pontosságából. Ez akkor következhet be, ha a kerekített szám utolsó jegye 5. Példa: Legyen az eredeti szám 13,374999747; az első kerekítés eredménye 13,3750.

• Ismert kiindulási szám esetén a kerekítés eredménye 13,37.
• Ismeretlen kiindulási szám esetén a kerekítés eredménye 13,38.

Tudományos munkákban, függvénytáblázatokban, logaritmustáblákban néha jelzik a kerekítések irányát. A felfelé kerekítést a kerekítéssel nyert jegy alá, illetve fölé húzott vonal, a lefelé kerekítést pont jelzi.

Példák:

• ${\displaystyle 3{,}4124928...}$  kerekítése ${\displaystyle 3{,}412{\underline {5}}}$ ; az újabb kerekítés eredménye ${\displaystyle 3{,}41{\dot {2}}}$ , ami lefelé kerekítés.
• ${\displaystyle 2{,}6245241...}$  kerekítése ${\displaystyle 2{,}624{\dot {5}}}$ ; az újabb kerekítés eredménye ${\displaystyle 2{,}625}$ , azaz ${\displaystyle 2{,}62{\underline {5}}}$ , tehát felfelé kerekítés. A következő kerekítés lefelé kerekítés lenne.

Ha nincsenek további jegyek, akkor a számot pontosnak tekintik.

Kerekített számokkal való számolás után annyi tizedesjegyet kell meghagyni, amennyit a kerekítés megőrzött. Például, ha egy erőt 12,2 Newtonnak mértek, akkor a végeredménynek is három értékes jegyet kell tartalmaznia, különben hamis pontosság érzetét kelti.

A kerekítési szabályokat rendszerint úgy magyarázzák, hogy a gyerekek is megértsék. Bronstein-Szemengyajev könyvsorozatában, a Taschenbuchs der Mathematik Elementarmathematik kötetében a bonyolultabb kerekítési szabályokat is a magasabb matematika módszerei nélkül írják le.

Véges és végtelen számjegysorozatok

A szerzők bevezetik a formális számnevek fogalmát (nem tévesztendő össze a szófajjal), melyen egy adott számrendszerbeli számjegysorozatot értenek. A pozitív ${\displaystyle {\frac {a}{10^{n}}}}$  alakú tizedestörtek (${\displaystyle a,n\in \mathbb {N} }$ ) írhatók, mint

${\displaystyle z_{v}z_{v-1}\ldots z_{0},z_{-1}z_{-2}\ldots z_{-n}}$ 

ahol a szám egészrésze a tizedesvessző előtti ${\displaystyle v}$  jegy, törtrésze pedig ${\displaystyle n}$  tizedesvessző utáni jegy. ${\displaystyle z_{v},\ldots ,z_{-n}}$  előáll a {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} számjegyekkel.

A többi valós szám tetszőlegesen pontosan közelíthető véges tizedestörtekkel. Egy ${\displaystyle x}$  valós szám tizedestört alakba fejtésének együtthatói az

${\displaystyle \sum _{i=v}^{\infty }a_{i}10^{i}}$ 

a ${\displaystyle z_{v}z_{v-1}\ldots z_{0},z_{-1}\ldots }$  számjegyek végtelen sorozatát adják. Ahol ${\displaystyle a_{i}}$  a tizedesjegyek alaki értéke, és 0 alaki értéke ${\displaystyle 0}$ , 1 alaki értéke ${\displaystyle 1}$ , és így tovább. Az ${\displaystyle A(j)}$  közelítő értékekből álló sorozat felülről korlátos, mivel ${\displaystyle x}$  jó felső korlát:

${\displaystyle A(j):=\sum _{i=v}^{-j}a_{i}10^{i}\qquad (j\geq -v)}$ 

${\displaystyle x-A(j)\leq 10^{-j}}$  tart a nullához, így ${\displaystyle A(j)}$  tart ${\displaystyle x}$ -hez. Ha

${\displaystyle Z(j):=z_{v}\ldots z_{0},z_{-1}\ldots z_{-j}}$ 

az ${\displaystyle A(j)}$ -t ábrázoló számsorozata, akkor egy ${\displaystyle 1\leq k\leq l}$  ${\displaystyle Z(l)}$  ábrázoló számsorozatának ${\displaystyle Z(k)}$  egy prefixe. Egy végtelen ${\displaystyle x}$  prefixét informálisan kezdeti szakaszának nevezik.

Az ${\displaystyle A(j)}$ -ről és a ${\displaystyle Z(j)}$ -ről tett kijelentések akkor is teljesülnek, hogyha ${\displaystyle x}$  ábrázolható ${\displaystyle n}$  tizedesjeggyel, azaz ${\displaystyle z_{-1}\ldots z_{-n}}$  Ekkor ${\displaystyle i>n}$ esetén az ${\displaystyle a_{i}}$  együtthatók és a ${\displaystyle z_{i}}$  jegyek egyenlőek 0-val. Ez a módszer a kerekítési szabályok formalizálását is segíti.

Negatív számokra hasonlóak fogalmazhatók meg. Annyi változik, hogy a közelítő értékek sorozata csökken, felső korlát helyett alsó korlát van, és így tovább.

A fentiek más számrendszerben is levezethetők, az adott számrendszerben használatos jegyekkel. A mindennapokban használt tízes számrendszer mellett a kettes számrendszerbeli megfogalmazás lehet fontos, a számítógépek által végzendő kerekítések megvalósítására.

Az ${\displaystyle z_{-1}...z_{-j}}$  írásmód formális rekurzióval definiálható, ahol a ${\displaystyle \circ }$  jel a konkatenáció, ${\displaystyle \varepsilon }$  az üres szó jele:

${\displaystyle z_{-1}\ldots z_{-0}=\varepsilon ;\qquad z_{-1}\ldots z_{-(j+1)}=z_{-1}\ldots z_{-j}\circ (z_{-(j+1)})\quad (j\in \mathbb {N} _{0}).}$ 

Levágás

A ${\displaystyle b}$ -edik tizedesjegy utáni levágás után azt a számot kapjuk az eredetileg ${\displaystyle n\geq b}$  ismert jegyű ${\displaystyle z_{v}\ldots z_{0},z_{-1}\ldots z_{-n}\ldots }$  számból, melynek ${\displaystyle b}$  tizedesjegye ismert, és ${\displaystyle z_{v}\ldots z_{0},z_{v+1}\ldots z_{-b}}$ . Ez az eredeti szám prefixe. A ${\displaystyle b=n}$  esetben az eredeti ${\displaystyle x}$  számnak ${\displaystyle b}$  jegyét határozzák meg, így a ${\displaystyle Z(b)}$ -vel ábrázolt szám maga is közelítő érték. Azonban a matematikai kerekítések számára legalább ${\displaystyle z_{-b-1}}$  pontossággal kellene a számot ismerni.

A levágás célja lehet a számítás segítése, vagy a túlzott pontosság elkerülése, amikor tudjuk, hogy a méréssel kapott ${\displaystyle b}$  jegy közül csak ${\displaystyle n}$  pontos.

Lefelé kerekítés

Lefelé kerekítéskor pozitív számok esetén az eredetinél nem nagyobb számot kapunk, ami a legnagyobb az adott pontosságú számok közül, ami az eredetinél nem nagyobb. Ehhez a további tizedesjegyeket elhagyjuk, ami így a levágásra hasonlít. Az eredmény sosem lesz negatív, de ha a szám kicsi, és a kerekítés elég pontatlan, akkor az eredmény nulla lesz.

Speciálisan, ha egy pozitív tizedestörtet lefelé kerekítenek, egész pontossággal, akkor a kerekítés eredménye éppen az egészrész. Általánosabban, a lefelé kerekítés kifejezhető az egészrésszel, tízes számrendszerben:

${\displaystyle {\frac {\lfloor 10^{b}\cdot x\rfloor }{10^{b}}}=\lfloor 10^{b}\cdot x\rfloor \cdot 10^{-b}}$ ,

ahol a kerekítés ${\displaystyle b}$  tizedesjegy pontosságú.

Felfelé kerekítés

Felfelé kerekítéskor az eredmény nem lesz kisebb, mint az eredeti szám; az az eredetinél nem kisebb szám, ami a legkisebb az adott pontosságú számok között. A további tizedesjegyek elhagyásán túl, amennyiben az elhagyott jegyek nem mind nullák, a megmaradt utolsó jegyet megnöveljük eggyel. Ha így átvitel keletkezik, azt végig kell futtatni a számon, így kapjuk a kerekített értéket.

Az egészrészhez hasonlóan használható a felső egészrész függvény az eredmény kifejezésére. Amennyiben ${\displaystyle x}$  pozitív valós szám, és ${\displaystyle b}$  tizedesjegyre kell kerekíteni a tízes számrendszerben, akkor:

${\displaystyle \lceil 10^{b}\cdot x\rceil \cdot 10^{-b}}$ .

Számítógép

A számítógépben nem tárolhatók tetszőleges pontossággal a számok a memória korlátai miatt. Többnyire azonban elég ennél kisebb pontosság is, így gyakran kerül sor kerekítésre a számítások során, hogy az eredmény ábrázolható legyen az adott számtípussal.

A legegyszerűbb módszer a levágás: a pontosságból kilógó jegyeket egyszerűen elhagyja a gép. Például ${\displaystyle 10{,}11_{2}=2{,}75_{10}}$  kerekítése egészekre ${\displaystyle 10_{2}=2_{10}}$ . Ez egy gyors módszer, azonban viszonylag nagy kerekítési hibákat eredményez. Azonban a jelfeldolgozás éppen azt használja ki, hogy megakadályozza instabil határciklusok létrejöttét.

Használják a fent említett kereskedelmi kerekítést is. Ehhez például egészekre kerekítés esetén a levágás előtt hozzáadnak ${\displaystyle 0{,}1_{2}=0{,}5_{10}}$ -et a számhoz. Így például ${\displaystyle 2{,}75_{10}+0{,}5_{10}=3{,}25_{10}=11{,}01_{2}}$ , levágás után ${\displaystyle 11_{2}=3_{10}}$ . A kerekítés pozitív irányba torzít.

Az IEEE-754 szabvány a matematikai kerekítést írja le, tehát a legközelebbi párosra kerekítést kettes számrendszerben. Azaz, ha az eredmény ${\displaystyle \ldots {,}\ldots 5_{10}=\ldots {,}\ldots 1_{2}}$  alakú, akkor a gép az utolsó 1-es helyett 0-t ír, majd az átvitellel felszalad a számon. Mivel rossz esetben az átvitel végigfut a teljes számon, azért ez a kerekítés lassú, és nagy számítási teljesítményt követel. Alternatív megoldásként táblázat is használható, ami leírja a kerekítést. Ebből keresi ki a gép a kerekítés eredményét.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Rundung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.