פונקציה אליפטית

למשל, פונקציה אליפטית עשויה להיות בעלת מחזור ממשי טהור ומחזור מדומה טהור; בכך התורה של פונקציות אליפטיות עמוקה יותר מזו של פונקציות אלמנטריות, שעשויות להיות בעלת מחזור ממשי בלבד (למשל פונקציות טריגונומטריות מסוימות, להן מחזור ממשי ${\displaystyle 2\pi }$) או מחזור מדומה בלבד (למשל פונקציית האקספוננט, לה מחזור מדומה ${\displaystyle 2\pi i}$). ניתן להתייחס לפונקציות כאלו גם כאל פונקציות ממקבילית אל המישור המרוכב, או מטורוס אל המישור המרוכב. מקור שמן הוא מכך שהן נחקרו לראשונה כשגילו פונקציה הפוכה לאינטגרל אליפטי (שעוזר בחישוב אורך קשת של אליפסה).

קבוצת הפונקציות האליפטיות מהווה שדה, שהוא בעצמו הרחבה לשדה המרוכבים (הוא מכיל אותם כפונקציות הקבועות). מאחר שטורוס הוא מרחב קומפקטי ומכיוון שכל פונקציה אנליטית היא בפרט רציפה, לפי משפטי ויירשטראס היא מקבלת מקסימום על הטורוס, ואז בגלל משפט ליוביל היא בהכרח קבועה. בעזרת משפט השאריות ניתן להראות בקלות גם כי אין פונקציה בעלת קוטב יחיד פשוט שהיא אליפטית.

עובדה זו גרמה לחיפוש אחר פונקציות אליפטיות שהן לא קבועות. דרך אחת שהוצעה היא זו של פונקציית תטא של יעקובי – שהיא אנליטית אבל רק "קוואזי-מחזורית" (מחזורית עד כדי קבוע שנוסף כל מחזור), ודרך אחרת היא זו של פונקציית P של ויירשטראס שהיא לא אנליטית אבל כן מחזורית.

משפט אבל-יעקובי נותן דרך פשוטה לבדוק האם יכולה להיות פונקציה אליפטית בעלת קטבים ואפסים מסוימים: ראשית – מספר הקטבים (כולל ריבוי) צריכה להיות שווה למספר האפסים (כולל ריבוי). שנית – שסכום הנקודות (כנקודות במישור המרוכב) יהיה הראשית, כאשר קטבים נלקחים עם סימן מינוס ואפסים עם סימן פלוס (שניהם עם ריבוי).

  מדיה וקבצים בנושא פונקציה אליפטית בוויקישיתוף

• מהן פונקציות אליפטיות ומה שימושן? הסבר בסיסי במדור "שאל את המומחה" באתר מכון דוידסון לחינוך מדעי.
• פונקציה אליפטית, באתר MathWorld (באנגלית)
•   פונקציות אליפטיות, דף שער בספרייה הלאומית