בערך זהנעשה שימושבסימנים מוסכמיםמתחום המתמטיקה.להבהרת הסימניםראו סימון מתמטי.
הגרסה החלשה של השערת גולדבך (נקראת גם השערת גולדבך האי־זוגית, השערת גולדבך המשולשת, בעיית שלושת הראשוניים והשערת גולדבך החלשה) היא משפט בתורת המספרים, שלפיו כל מספר אי־זוגי שגדול מ־5 הוא סכום של שלושה מספרים ראשוניים. ההשערה הופיעה בהתכתבות בין כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר ב־1742, יחד עם השערת גולדבך הרגילה. ההתקדמות המהותית הראשונה לעבר הוכחת ההשערה נעשתה ב־1922 על ידי הארדי וליטלווד. ב־1937 הוכיח איוואן וינוגרדוב כי ההשערה מתקיימת עבור מספרים שגדולים מקבוע מסוים . לאחר מכן מתמטיקאים רבים שיפרו את החסמים על הקבוע, עד שלבסוף ב־2013 הצליח הראלד הלפגוט לסגור את הפער בין החסם התאורטי לגבולות הבדיקה החישובית, ולהוכיח בכך את ההשערה.
השערת גולדבך החלשה נקראת כך כי קל להסיק אותה מהשערת גולדבך, שאומרת שכל מספר זוגי שגדול מ־2 הוא סכום של שני ראשוניים. למעשה השערת גולדבך שקולה לטענה שכל מספר טבעי שגדול מ־5 הוא סכום של 3 ראשוניים. מהשערת גולדבך החלשה נובע שכל מספר טבעי שגדול מ־7 הוא סכום של 4 ראשוניים.
השערת גולדבך החלשה נובעת מהשערת גולדבך הרגילה, האומרת שכל מספר זוגי שגדול מ־2 הוא סכום של שני ראשוניים. ואומנם אם מספר אי־זוגי שגדול מ־5 אז הוא מספר זוגי שגדול מ־2 ולכן אם השערת גולדבך תקפה אז עבור ו־ ראשוניים ומכאן ש .
באופן דומה קל להראות שהשערת גולדבך החלשה גוררת שכל מספר זוגי שגדול מ־6 הוא סכום של ארבעה ראשוניים (שהרי 8=2+2+2+2 וכל מספר זוגי שגדול יותר אפשר להציג בצורה 3+a כאשר a אי־זוגי שגדול מ־5).
הן הגרסה החלשה והן הגרסה החזקה של השערת גולדבך קשורות לקבוע שנירלמן, שהוא המספר הקטן ביותר כך שכל מספר טבעי שגדול מ־1 הוא סכום של לא יותר מ־ ראשוניים. הקבוע נקרא על שם לב שנירלמן, שהוכיח (באמצעות צפיפות שנירלמן) שקיים קבוע כזה. לאחר הוכחתו של שנירלמן, מתמטיקאים רבים שיפרו את הקבוע. השערת גולדבך החלשה גוררת שקבוע שנירלמן לא עולה על 4. עד הוכחתו של הלפגוט החסם הטוב ביותר על קבוע שנירלמן היה 6 (טאו 2012) השערת גולדבך עצמה גוררת שקבוע שנירלמן שווה ל־3. ברור שקבוע שנירלמן לא יכול להיות קטן מ־3.
ישנה גרסה מעט חזקה יותר של השערת גולדבך החלשה, הטוענת כי כל מספר אי־זוגי שגדול מ־7 הוא סכום של 3 מספרים ראשוניים אי־זוגיים. הוכחתו של הלפגוט תקפה גם עבור גרסה זו.
מקור הטענה במכתב ששלח כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר ב־1742, ובו הועלתה האפשרות שניתן לכתוב כל מספר שלם כסכום של שלושה מספרים ראשוניים (לרבות, במשתמע, המספר 1, שבדרך כלל אינו נחשב ראשוני). במכתב התשובה ציטט אוילר השערה אחרת של גולדבך, שעל־פי ניסוחה המקובל היום, ניתן להציג כל מספר זוגי כסכום של שני מספרים ראשוניים אי־זוגיים. הגרסה החלשה נובעת מהשערת גולדבך, משום שאפשר לכתוב כל מספר אי־זוגי כסכום של הראשוני 3 ועוד מספר זוגי.
הבעיה תוארה על ידי אדמונד לנדאו ב־1912 כ"בלתי ניתנת להשגה". ב־1925 נשא לנדאו בירושלים הרצאה תמציתית בנושא זה לרגל פתיחת מכון איינשטיין למתמטיקה באוניברסיטה העברית.
ב־1922 הוכיחו הארדי וליטלווד שאם מניחים את השערת רימן המוכללת, אפשר להציג כל מספר אי־זוגי גדול מספיק כסכום של שלושה ראשוניים. ההוכחה של הרדי וליטלווד לא נתנה חסם מפורש למספר שממנו ההשערה נכונה. עם זאת ניתוח מאוחר יותר של הוכחתם מניב את החסם .
איוואן וינוגרדוב הצליח להסיר את הנחת השערת רימן המוכללת ב־1937. ההוכחה של וינוגרדוב לא נתנה חסם לערך שאחריו ההשערה נכונה. תלמידו של וינוגרדוב, קונסטנטין בורוזדקין (Borozdkin), הצליח לתת כזה חסם ב־1939. החסם עמד על .
ב־1956 שיפר בורוזדקין את הערך ל . החסם שופר ל־ (Chen-Wang, 1989) ושוב ל־ (Chen-Wang, 1996). ב־2002 שופר החסם ל־ על ידי Liu-Wang, אולם הפער בין מספר זה לבין המספר הגדול ביותר שנבדק עד כה נותר גדול.
ב־1997 הצליחו דשוילארס, אפינגר, רילה וזינובייב לסגור את הפער אם מניחים את השערת רימן המוכללת: זינובייב הוריד את החסם ל (בהנחת השערת רימן). לאחר מכן דשוילארס ורילה בדקו בעזרת מחשב את השערת גולדבך הרגילה עד וארבעתם הסיקו מהבדיקה הזאת (שוב בהנחת השערת רימן) את נכונות השערת גולדבך החלשה עד . בשנת 1998 חזר Yannick Saouter על הסקת נכונות השערת גולדבך החלשה עד ללא שימוש בהשערת רימן.
בשנים 2012 ו־2013 הוכיח הראלד הלפגוט את השערת גולדבך החלשה בשלושה מאמרים. ההוכחה התבססה בין היתר על חישוב שביצע יחד עם פלאט באותו הזמן.
שני המאמרים הראשונים הוקדשו לשיפור החסמים הנחוצים להוכחה. מאמרים אלו לא התבססו על השערת רימן. שיפור החסמים התאפשר בין היתר בזכות בדיקה ממוחשבת של השערת רימן המוכללת (עבור מספר סופי של פונקציות זטא) עד לגובה מסוים במישור המרוכב. בשנת 2013 בדקו הלפגוט ופלאט את תקפותה של השערת גולדבך החלשה עד . הם השתמשו בשיטה דומה לשיטתו של Saouter לבדיקה של השערת גולדבך החלשה עד . במאמר האחרון הוכיח הלפגוט את ההשערה למספרים שגדולים מ־ (בגרסה של המאמר מ-2014 החסם שופר ל ) ללא הנחת השערת רימן המוכללת, ובכך סגר את ההשערה באופן מלא. בנספח למאמר זה מתאר הלפגוט שיטה נוספת לבדיקת ההשערה עד . שיטה זו התבססה על מאמר חישובי אחר של פלאט שנכתב באותו הזמן.
להלן טבלה המסכמת את התוצאות המיטביות הנוגעות לבעיה במהלך השנים. הטבלה מבוססת על סקירה היסטורית בספרו של הלפגוט. ייתכנו תוצאת היסטוריות שלא מופיעות בה.
שנה | קבוע ממנו הוכחה ההשערה בכלים אנליטיים | קבוע עד אליו נבדקה ההשערה על ידי חישוב ועל ידי הערכות עלֹ התפלגות הראשוניים | קבוע עד אליו נבדקה השערת גולדבך הרגילה | חסם מלעיל על קבוע שנירלמן |
---|---|---|---|---|
1855 | ||||
1896 | ||||
1922 | ; ; | |||
1926 | ; ; | |||
1933 | ; ; | ; | ||
1937 | ; | ; | ||
1939 | ; ; | ; ; | ||
1940 | ; ; | ; ; | ||
1952 | ; ; | ; ; | ||
1956 | ; ; | ; ; | ||
1964 | ; ; | ; ; | ||
1965 | ; ; | ; ; | ||
1969 | ; ; | ; ; | ||
1972 | ; ; | ; | ||
1975 | ; ; | ; | ||
1976 | ; ; | ; | ; | |
1977 | ; ; | ; | , ; | |
1983 | ; ; | ; | ; | |
1989 | ; | ; | ; | |
1993 | ; ; | ; | ; | |
1995 | ; ; | ; | ; | |
1996 | ; ; | ; | ; | |
1997 | ; | ; | ; | |
1998 | ; | ; | ; | |
2001 | ; | ; | ; | |
2002 | ; | ; | ; | |
2003 | ; | ; | ; | |
2012 | ; | ; | ; | |
2013 | ; | ; | ||
סוף 2013 | ; | ; |
הגרפים הבאים מסכמים את התוצאות שבטבלה:
ההוכחה של הלפגוט, כמו גם כמעט כל ההוכחות החלקיות הקודמות, מבוססת על השיטה הבאה: בוחרים פונקציית משקל על הטבעיים ומנסים לשערך את הסכום
החלק העמוק והמרכזי בהוכחה הוא השיערוך של בעוד שבדיקת ההשערה עד היא משימה חישובית ביסודה. עם זאת שני החלקים דרשו הן רעיונות מתמטיים והן חישוב מסיבי בעזרת מחשב.
השיטה לשערוך נקראת שיטת המעגל של הרדי וליטלווד. היא מבוססת על שערוך של טור החזקות
ההוכחה המקורית של הרדי וליטלווד התבססה על ניתוח של הערך של בשורשי יחידה. ניתוח זה מצריך ידע על התפלגות ראשוניים בסדרות חשבוניות. השערת רימן המוכללת נותנת ידע כזה. למעשה יש צורך בהשערת רימן הקאלסית ובהשערת רימן המוכללת עבור פונקציות זטא של דדקינד עבור הרחבות ציקלוטומיות של . לפי משפט הקירוב של דיריכלה ניתן לכסות את מעגל היחידה בקשתות שמרכזיהן הם שורשי יחידה ורדיוסיהן הם כאחד חלקי סדר השורש בריבוע. בהתבסס עלֹ זה הצליחו הרדי וליטלווד להרחיב את השערוך של לכל מעגל היחידה.
הרעיון בהוכחה של וינוגרדוב היה לחלק את השערוך לשני חלקים:
וינוגרדוב מצא דרך אחרת להתמודד עם הקשתות הקטנות, המבוססת על שיטות נפה. כיוון שמספר הקשתות הגדולות סופי, נדרש שערוך פחות מדויק עבורן. לכן ניתן להחליף את השערת רימן המוכללת במשפטים אודות אי־התאפסות של פונקציות זטא (של רימן ושל דדקינד) באזורים מסוימים במישור המרוכב.
ההוכחה המקורית של וינוגרדוב הסתמכה על תופעת דורינג–הילבורן (Deuring–Heilbronn phenomenon), לפיה קיום של אפס המהווה דוגמה נגדית להשערת רימן המוכללת מבטיח אי־התאפסות של פונקציות זטה מסוימות בתחומים מסוימים. כך שאפשר לחלק את ההוכחה לשני מקרים:
החיסרון בשיטה זאת, הוא שאין דרך לדעת איפה נמצא ולכן תחומי האי־התאפסות אינם מפורשים. זאת הסיבה שהוכחה זו אינה נותנת חסם על המקום שממנו השערת גולדבך החלשה מתקיימת.
בהוכחות מאוחרות יותר הוחלף השימוש בתופעת דורינג–הילבורן במשפטים אחרים הנותנים תחומים מפורשים של אי־התאפסות, ולכן הן נותנות חסמים מפורשים (אם כי גבוהים מאוד).
אחד החידושים בהוכחה של הלפגוט היא שבהוכחתו הוא משתמש, בנוסף לאֲזורי האי־התאפסות שהשתמשו בהם בהכחות הקודמות גם בעובדה שלפונקציית זטא אין אפסים לא טריוויאליים מחוץ לישר הקריטי בעלי ערך מדומה קטן (בערכו המוחלט) מקבוע מסוים (סדר גודל של ; עבור כ־ פונקציות זטא שונות). בדיקה של אי־התאפסות זו התבצעה בשנת 2011 על ידי פלאט בעזרת מחשב. בהתבסס על כך הצליח הלפגוט לשפר את החסמים על הקשתות גדולות. כמו כן הלפגוט שיפר את החסמים על הקשתות הקטנות.
המספרים שעד אֲליהם צריך לבדוק את השערת גולדבך הם גדולים למדי ( בהוכחה של הלפגוט). לא ניתן לעבור על כמות כזאת של מספרים במחשב מודרני בהשקעה סבירה. קשה עוד יותר לבצע חישוב לא טריוויאלי כלשהו בשבילם. לכן אסטרטגיית הבדיקה צריכה להיות מתוחכמת יותר:
בשלב הראשון מבצעים בדיקה של השערת גולדבך הרגילה עד למספר גדול יחסית . בדיקה זאת מתבצעת על ידי גרסאות של נפת ארטוסתנס. השיא הנוכחי הושג ב־2013 על ידי אוליברה, סילבה הרצוג ופראד ועומד על .
כדי להסיק את השערת גולדבך החלשה עד קבוע די להראות שההפרש המקסימלי בין שני ראשוניים עוקבים עד קטן מ . מכאן יש 2 גישות:
ההוכחה התבססה בין היתר על חישוב מסיבי בעזרת מחשב. כך שבנוסף לשאלות רגילות הנוגעות לאמינות הטיעונים והתוכנה הנבחנות בכלים הרגילים של ביקורת עמיתים וקבלה על ידי הקהילה, עלתה גם שאלת אמינות החישוב עצמו ורגישותו לטעויות חומרה. הסבירות שמחשב יטעה בחישוב נמוכה מאוד אך לא אפסית. לכן כשמבצעים כמות גדולה כל כך של חישובים טעוית כאלה קורות.
הלפגוט נדרש לשאלה זאת, ולכן בחר להסתמך על חישובים שהתבצעו פעמיים, ובמקרה (הנדיר) שהניבו תוצאות שונות נבדקו פעם שלישית. כמו כן הוא העדיף חישוב שהתבצע על ידי מחשב על מאשר על ידי חישוב מבוזר במחשבים רגילים. הוא מצא שבעוד שבמחשבים רגילים היו מספר מקרים של תוצאת שלא התאימו זו לזו, ההתאמה במחשבי העל הייתה מושלמת.
באופן כללי, סיבה מרכזית לטעוית חומרה היא הקרינה קוסמית. קל יותר להגן על מחשב על אחד מקרינה קוסמית מאשר על מספר רב של מחשבים רגילים. כמו כן, ככל שכל טרנזיסטור קטן יותר ומהיר יותר (כמו במחשבי-על) הסבירות לטעות בחישוב בודד נמוכה יותר.
This article uses material from the Wikipedia עברית article השערת גולדבך החלשה, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). התוכן זמין לפי תנאי CC BY-SA 4.0 אלא אם כן נאמר אחרת. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki עברית (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.