Singularitate Grabitazional

Honen ondorioz, singularitatea definizioz ez da gehiago espazio-denbora erregularraren parte izango eta ezin da determinatu ezer "non" edo "noiz" gertatzen den. Erlatibitate orokorreko teorian singularitatearen definizio zehatz bat aurkitzea oso zaila da. Erlatibitate orokorrean singularitatearen definizio bat izan daiteke kurbadura eskalar aldaezina infinitu bilakatzea edo, hobeto esanda, geodesiko bat osatugabea izatea.

Singularitate grabitazionalak gehienbat erlatibitate orokorraren testuinguruan ulertzen dira, non dentsitatea itxuraz infinitu bilakatzen den zulo beltzaren zentruan. Astrofisikaren eta kosmologiaren ikuspegitik, singularitateak unibertsoaren hasierako unean kokatzen dira, Big Bang/Zulo zuria gertatu bitartean. Fisikariek ez dakite singularitateen aurreikuspenek zer adierazten duten: benetan existitzen direla (edo existitu zirela Big Bang-aren hasieran) edo gaur egungo jakintza ez dela nahikoa deskribatzeko zer gertatzen den muturreko dentsitateetan.

Erlatibitate orokorrak puntu jakin batetik aurrera (izarrentzat puntu hau Schwarzschild-en erradioa da) kolapsatzen diren objetuek zulo beltz bat osatuko dutela aurreikusten du non zuloaren barruan singularitate bat osatzen den. Penrose-Hawking singularitatearen teoremek definitzen dute singularitateek leunki zabaldu ezin diren geodesikoak dituztela. Horrelako geodesikoen amaiera singularitate bat da.

Teoria modernoen bidez ere aurreikusi da unibertsoaren hasierako egoera, Big Bang-aren hasiera, singularitatea izan zela. Kasu honetan, unibertsoa ez zen zulo beltz batean kolapsatu. Hau jakinekoa da gaur egungo kalkuluak eta kolapso grabitazionalerako dentsitatearen limiteak tamaina konstanteko objektuetan oinarritzen direlako, esaterako izarretan, eta ezin dira zertan modu berean aplikatu Big Bang-a bezala oso azkar zabaltzen den espazioari. Zein erlatibitate orokorrak, nahiz mekanika kuantikoak ezin dute deskribatu Big Bang-aren hasierako momenturik, baina orokorrean, mekanika kuantikoan ez da posible partikula bat bere uhin luzera baino txikiagoa den espazioan "bizitzea".

Fisikako teoria askok singularitate matematikoak dituzte. Teoria fisiko hauen ekuazioek masa kantitate bat infinitu bihurtzen dela edo limiterik gabe handitzen dela aurreikusten dute. Orokorrean, horrelako gertaerak teoriari zerbait falta zaion seinale dira; hori gertatu zen hondamendi ultramorean adibidez.

Erlatibitate berezia (baina ez orokorra) hartzen duten eremuen teoria klasikoetan, esan daiteke emaitza batek espazio-denborako puntu jakin batean singularitatea duela, puntu horietan propietate fisiko batzuk ezin badira ondo definitu. Kasu honetan, espazio-denbora erabil daiteke singularitatea aurkitzeko. Aldiz, erlatibitate orokorrean, askoz ere konplexuagoa da definizioa, espazio-denbora bera ezin baita ongi definitu. Beraz, kasu honetan, singularitatea ez da espazio-denboraren parte izango eta singularitatea ezingo da zehaztu "non" edo "noiz gertatzen den.

Teoria batzuek, kiribilen grabitate kuantikoen teoriak adibidez, singularitateak existitzen ez direla esaten dute. Hau ere gertatzen da Einsten-Maxwell-Dirac ekuazioak bezalako eremu teoria klasikoetan. Grabitate kuantikoko efektuen ondorioz, distantzia minimo bat dago non distantzia horretatik aurrera grabitate indarra ez den handitzen masen arteko distantzia txikitzen denean. Beste modu batera esanda, tarteko uhin partikulek grabitazio efektuetan eragina izaten dute.

Metrika baten singularitateak bi motatakoak izan daitezke. Adibidez,

${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+{\frac {dx^{2}}{x^{2}}}+y^{2}dy^{2}+dz^{2}}$ 

metrika singularra da x = 0 puntuan; baina, ${\displaystyle (t,x,y,z)\to (t'\equiv t,x'\equiv \ln x,y'\equiv y^{2}/2,z'\equiv z)}$  transformazioa aplikatuz, Minkowskiren metrika berreskuratzen da: ${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt'^{2}+dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}$ . Koordenatuen transformazioen bidez singularitatea desagertzen bada koordenatu-singularitate deritzo. Bestalde, artikulu honetan jorratuko direnak funtsezko singularitateak dira, hau da, edozein dela ere koordenatu sistema, singularitatea ez da desagertuko.

Schwarzschild-en metrikan, metrika koefizienteak infinitura doaz bi puntutan: ${\displaystyle r=0}$  eta ${\displaystyle r=2GM}$ . Honek adierazten digu zerbait arraroa gertatzen dela bi puntu horietan. Hala ere, aipatu beharra dago, metrika koefizienteak koordenatuen araberakoak direla eta beraz, agian posible izango litzatekeela beste koordenatu sistema bat aukeratuz arazo hau konpontzea. Horrelako puntuei, koordenatu-singularitateak deritze lehen aipatu bezala. Benetako arazoa agertzen da kurbadura infinitu bilakatzen denean. Kurbadura Riemann-en tentsoreaz neurtzen da. Ez da erraza esatea kurbadura tentsorea noiz bihurtzen den infinitu, hau ere koordenatuen araberakoa baita. Halaber, kurbaduratik eraiki ditzakegu eskalarrak. Eskalarrak beti dira koordenatuen independenteak. Beraz, hauetakoren bat infinitura badoa orduan esan dezakegu zerbait gertatzen ari dela puntu horretan. Horrelako eskalar garrantzitsuena Ricci-ren eskalarra da: ${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$ . Erlatibitate orokorrean batzuetan erabiltzen da ere ondoko moduan definitutako Kretschmannen eskalarra:

${\displaystyle K\equiv R_{\mu \nu \rho \sigma }R^{\mu \nu \rho \sigma }}$ 

Baina, eraiki ditzakegu orden altuagoko eskalarrak ere: ${\displaystyle R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$ , ${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }R^{\rho \sigma \lambda \tau }R_{\lambda \tau }^{\mu \nu }}$  etab.

Hauetako edozein eskalar (baina ez denak batera) infinitura joaten bada punturen batean, puntu horri funtsezko singularitate deritzo. Schwarzschild-en metrikara itzuliz, kalkuluak eginez ikus dezakegu honako hau betetzen dela:

${\displaystyle R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }={\frac {48G^{2}M^{2}}{r^{6}}}}$ 

Hau nahikoa da ikusteko ${\displaystyle r=0}$  benetako singularitatea dela eta ez koordenatuen araberakoa. Aldiz, ${\displaystyle r=2GM}$  koordenatu singularitatea izango da.

Singularitate mota desberdinak daude, bakoitza ezaugarri fisiko desberdinekin. Formaren arabera singularitate konikoak eta kurbatuak ditugu. Hipotesi bat dago baita ere, esaten duena singularitate batzuk gertaeren mugarik gabe gertatzen direla; gertaeren mugak bi espazio-denboren arteko muga dira non gertaerek ezin duten eragin muga horretatik haratago. Horrelako singularitateei biluziak esaten zaie.

Konikoak

Singularitate konikoa puntu jakin batean espazio-denbora leuna ez denean gertatzen da. Ondorioz, espazio-denborak kono itxura du puntu honen inguruan eta singularitatea konoaren erpinean kokatuta egongo da.

Horrelako singularitatearen adibide dira hari kosmikoak eta Schwarzschild-en zulo beltzak.

Kurbatuak

 

Erlatibitate orokorreko emaitzek edo beste teoria grabitatorio batzuetako (adibidez supergrabitatea) emaitzek erakusten dute elkartzen diren puntu batzuetan metrikak infinitura jotzen duela. Hala ere, horrelako puntu asko erregularrak dira eta infinituak lor ditzakegu koordenatu sistema okerra erabiltzearen ondorioz. Beraz, frogatzeko benetan puntu jakin bat singularitatea den ala ez, ikusi behar da puntu horretan difeomorfismo aldaezinen kantitateak (adibidez, eskalarrak) infinitu bilakatzen diren ala ez; horrelako kantitateak berdinak baitira edozein koordenatu sistemetan.

Honen adibide da Schwarzschild-en soluzioa zeinak biratzen ez duen eta kargatu gabeko zulo beltza deskribatzen duen. Zulo beltzetik urrun dauden zonaldeetan egokiak diren koordenatu sistemetan, metrikaren zati bat infinitu bihurtzen da gertaeren mugan. Aitzitik, espazio-denbora erregularra da gertaeren mugan. Erregulartasun hori oso argi ikusten da koordenatu sistema aldatzean (adibidez Kruskal koordenatuak erabiltzean), non metrika erabat leuna den. Aldiz, zulo beltzaren zentruan non metrika infinitu bihurtzen den baita ere, emaitzak esaten digu singularitatea existitzen dela. Singularitatearen existentzia onar daiteke Kretschmann eskalarra infinitua delako eta hau difeomorfismo aldaezina da.

Biratzen ez duen zulo beltz batean singularitatea puntu batean gertatzen den bezala, biratzen duen zulo beltz batean (Kerr zulo beltza) singularitatea eraztun batean gertatzen da. Horrelako singularitateak teorikoki zizare zuloak bihur daitezke.

Orokorrago esanda, espazio-denbora singularra dela esan dezakegu bere geodesikoa osatugabe dagoenean. Honek esan nahi du partikula batzuk erorketa askean daudela eta beraien mugimendua ezin dela definitu denbora finitu batean. Adibidez, biratzen ez duen zulo beltz baten barruko edozein behatzaile zulo beltzaren zentrura eroriko litzateke denbora finitu batean. Big Bang-en bertsio klasikoak dio singularitate kausal bat zegoela denboraren hasieran (t=0), non geodesikoak ez diren zabaltzen iraganera. Denbora 0 honetara atzerantz estrapolatuz, zero tamainako dimentsio espazialeko unibertsoa lortzen dugu; dentsitate infinitua, tenperatura infinitua eta espazio-denbora kurbadura infinitua dituena.

Biluziak

1990 urteraino pentsatzen zen erlatibitate orokorrak singularitate bat ezkutatzen zuela gertaeren muga bakoitzean eta horrela ezinezkoa litzateke singularitate biluziaren existentzia. Honi zentsura kosmologikoa deritzo. Hala ere, 1991n, Stuart Shapiro eta Saul Teukolsky fisikariek biratzen duten hautsezko planoen ordenagailu bidezko simulazioak egin zituzten eta hauetan ikusi zuten erlatibitate orokorrak onar ditzakeela singularitate biluziak. Horrelako objektuek zein itxura izango duten ez da ezagutzen. Ezta ere ezagutzen ea singularitatea gertatuko litzatekeen simulazioak egiteko hurbilketak kenduko balira. Hala ere, hipotesi bat dago zeinak dioen singularitate biluzi batek zulo beltz baten itxura izan dezakeela.

Desagertzen diren gertaeren mugak existitzen dira Kerr-en metrikan; hauek hutseango zulo beltzak dira momentu angeluarra (${\displaystyle J}$ ) behar bezain handia bada. Kerr metrika Boyer-Lindquist koordenatuetara transformatuz, ikus daiteke gertaeren mugen koordenatua${\displaystyle {\displaystyle r_{\pm }=\mu \pm (\mu ^{2}-a^{2})^{1/2}}r_{\pm }}$  dela non ${\displaystyle {\displaystyle \mu =GM/c^{2}}\mu }$  eta ${\displaystyle {\displaystyle a=J/Mc}a}$  diren. Kasu honetan, gertaeren mugak desagertzeak esan nahi du soluzioak konplexuak direla ${\displaystyle {\displaystyle r_{\pm }}}$  edo ${\displaystyle {\displaystyle \mu ^{2}$ -rentzat. Alabaina, hau lot daiteke kasu batekin non ${\displaystyle J}$ , ${\displaystyle {\displaystyle GM^{2}/c}}$  baino handiagoa den ( edo Plancken unitateetan ${\displaystyle {\displaystyle J>M^{2}}}$ ), esaterako spinak beretzat fisikoki posiblea den baliorik handiena pasatzen du.

Era berean, desagertzen diren gertaeren mugak kargatutako zulo beltzen Reissner-Nordström geometriaren bidez ikus daitezke karga (${\displaystyle Q}$ ) behar bezain handia bada. Metrika honetan, ikus daiteke singularitateak ${\displaystyle {\displaystyle r_{\pm }=\mu \pm (\mu ^{2}-q^{2})^{1/2}}r_{\pm }}$  gertatzen direla non ${\displaystyle {\displaystyle \mu =GM/c^{2}}}$  eta ${\displaystyle {\displaystyle q^{2}=GQ^{2}/(4\pi \epsilon _{0}c^{4})}}$ . ${\displaystyle \mu }$  eta ${\displaystyle q}$ -ren hiru balio erlatibo posibleetatik ${\displaystyle \mu ^{2}$  kasuak bi ${\displaystyle r_{\pm }}$ -ak konplexu izatera eramaten ditu. Honek esan nahi du metrika erregularra dela ${\displaystyle r}$ -ren balio positibo guztietarako, edo beste modu batera esanda, singularitateak ez du gertaeren mugarik. Hala ere, honen kasu bat da ${\displaystyle {\displaystyle Q/{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}}}$ , ${\displaystyle {\displaystyle M{\sqrt {G}}}}$  baino handiagoa denean (Plancken unitateetan ${\displaystyle {\displaystyle Q>M}}$ ), adibidez kargak beretzat fisikoki posible den baliorik handiena pasatzen du. Esan beharra dago astrofisikan zulo beltzek ez dutela normalean kargarik izaten.

${\displaystyle M}$  txikiena duen zulo beltzari, bere ${\displaystyle J}$  eta ${\displaystyle Q}$  balioek goian ezarritako mugekin bat etorriz, extremala deritzo.

Reissner eta Nordströmen soluzioa honakoa da :

${\displaystyle E={\frac {q}{r^{2}}}}$ 

${\displaystyle ds^{2}=-\Delta c^{2}dt^{2}+\Delta ^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}{\theta }d\phi ^{2})}$ 

Metrika honen singularitate bakarra ${\displaystyle r=0}$  balioan gertatzen da, baina goiko ekuazioak koordenatu-singularitate bat du ${\displaystyle \Delta =0}$  ekuazioaren soluzio erreal bakoitzeko :

${\displaystyle r_{\pm }={\frac {r_{s}\pm {\sqrt {r_{s}^{2}-4r_{q}^{2}}}}{2}}}$ 

${\displaystyle r_{s}<2r_{q}}$  denean, ${\displaystyle r_{\pm }}$  irudikariak izango dira. Kasu honetan ${\displaystyle r=0}$  funtsezko singularitatea denbora motakoa izango da eta ez ditu erakarriko inguruko fotoi eta partikula guztiak. Izan ere, ${\displaystyle d\theta =d\phi =0}$  plano batean geodesiko nulu erradialen ekuazioak era honetan idazten dira:

${\displaystyle ds^{2}=0=d\theta =d\phi \to d{\frac {dt}{dr}}=\pm \Delta ^{-1}}$ 

${\displaystyle ct=\pm [r-{\frac {2r_{q}^{2}-r_{s}^{2}}{\sqrt {4r_{q}^{2}-r_{s}^{2}}}}\arctan {\frac {2r-r_{s}}{\sqrt {4r_{q}^{2}-r_{s}^{2}}}}+{\frac {r_{s}}{2}}\ln {\frac {r^{2}\Delta }{r_{s}^{2}}}]+K}$ 

Horizonterik ez dagoenez, singularitate biluzia da eta horrelakoekin kausaltasun arazoak sortzen direnez, Penroseren zentsura kosmikoaren hipotesiaren arabera, ez da soluzio fisikorik onartzen.

Stephen Hawking-ek Hawking erradiazioaren kontzeptua aurkitu aurretik, zulo beltzek entropia zutenaren galdera saihestua izan zen. Kontzeptu honek frogatzen du zulo beltzek energia erradiatzen dutela, honekin entropia kontserbatzen da eta termodinamikako bigarren legearekin zegoen bateraezintasuna gainditzen da. Entropiak, hala ere, beroa dagoela esaten digu eta beraz, tenperatura. Energiaren galerak esan nahi du zulo beltzak ez direla betirako izango, eta aldiz, pixkanaka desintegratuko dela. Zulo beltz baten tenperatura bere masarekiko alderantziz proportzionala da. Ezagutzen diren zulo beltz guztietan zuloak hain dira handiak, non beraien tenperatura hondoko mikrouhin erradiazioarena baino askoz txikiagoa den. Honek esan nahi du, zuloek energia irabaziko dutela erradiazioa xurgatuz gero. Zuloek ezin dute energia galdu beraien tenperatura hondoko mikrouhin erradiazioaren baino txikiagoa den bitartean. Zuloen tenperatura handiago izatea gertatuko da gorriranzko lerrakuntza milioi bat baino handiagokoa bada.