Satz Von Wolstenholme: Mathematischer Satz

Er lautet:

Ist ${\displaystyle p\geq 5}$ eine Primzahl, so hat die harmonische Zahl

${\displaystyle H(p-1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots +{\frac {1}{p-1}}}$

einen durch ${\displaystyle p^{2}}$ teilbaren Zähler (in vollständig gekürzter und daher auch in jeder anderen Darstellung als Quotient zweier ganzer Zahlen).

Zur Veranschaulichung einige Beispiele:

• ${\displaystyle p=7{\text{:}}\quad 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {49}{20}},}$  der Zähler ${\displaystyle 49=1\cdot 7^{2}}$  ist durch ${\displaystyle 7^{2}}$  teilbar.
• ${\displaystyle p=13{\text{:}}\quad 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{12}}={\tfrac {86021}{27720}},}$  der Zähler ${\displaystyle 86021=509\cdot 13^{2}}$  ist durch ${\displaystyle 13^{2}}$  teilbar.

Der Satz von Wolstenholme ist äquivalent zu der Aussage, dass der Zähler von

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}}$ 

durch ${\displaystyle p}$  teilbar ist.

Eine Folgerung aus dem Satz ist die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p}{p}}\equiv 2\mod {p^{3}},}$ 

die auch in der Form

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1\mod {p^{3}}}$ 

geschrieben werden kann.

Eine Wolstenholme-Primzahl p ist eine Primzahl, die eine stärkere Fassung des Satzes von Wolstenholme erfüllt, genauer: die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• Der Zähler von

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{p-1}}}$ 
ist durch ${\displaystyle p^{3}}$  teilbar.

• Der Zähler von

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}}$ 
ist durch ${\displaystyle p^{2}}$  teilbar.

• Es gilt die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p}{p}}\equiv 2\mod {p^{4}}.}$ 

• Es gilt die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1\mod {p^{4}}.}$ 

• Der Zähler der Bernoulli-Zahl ${\displaystyle B_{p-3}}$  ist durch ${\displaystyle p}$  teilbar.

Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 (Selfridge und Pollack 1964) und 2124679 (Buhler, Crandall, Ernvall und Metsänkylä 1993). Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 10⁹ sein. Es wurde die Vermutung aufgestellt, dass unendlich viele Wolstenholme-Primzahlen existieren, und zwar etwa ${\displaystyle \log(\log(x))}$  unterhalb ${\displaystyle x}$  (McIntosh 1995).

Verwandter Begriff

Betrachtet man nur Summanden mit ungeradem Nenner, also die Summe

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\dots +{\frac {1}{p-2}}}$ 

für eine Primzahl ${\displaystyle p\geq 3}$ , so ist der Zähler genau dann durch ${\displaystyle p}$  teilbar, wenn die stärkere Form

${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1\mod {p^{2}}}$ 

des Satzes von Euler-Fermat gilt. Derartige Primzahlen heißen Wieferich-Primzahlen.

Aus dem Satz von Wilson folgt die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {np-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p}}}$ 

für jede Primzahl ${\displaystyle p}$  und jede natürliche Zahl ${\displaystyle n.}$ 

Charles Babbage bewies 1819 die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$ 

für jede Primzahl ${\displaystyle p>2.}$ 

Joseph Wolstenholme bewies 1862 die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}}$ 

für jede Primzahl ${\displaystyle p>3.}$ 

• G. H. Hardy, E. M. Wright: An introduction to the theory of numbers. 6. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2008, ISBN 978-0-19-921985-8 (englisch; revidiert von D. R. Heath-Brown und J. H. Silverman).

• The Prime Glossary: Wolstenholme prime (englisch)
• Eric W. Weisstein: Wolstenholme’s Theorem. In: MathWorld (englisch).