Riemannsches Integral: Methode zur Abschätzung der Fläche unter einem Graphen

Das riemannsche Integral (auch Riemann-Integral) ist eine nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann benannte Methode zur Präzisierung der anschaulichen Vorstellung des Flächeninhaltes zwischen der x -Achse und dem Graphen einer Funktion.

Der riemannsche Integralbegriff gehört neben dem allgemeineren lebesgueschen zu den beiden klassischen der Analysis. In vielen Anwendungen werden nur Integrale von stetigen oder stückweise stetigen Funktionen benötigt. Dann genügt der etwas einfachere, aber weniger allgemeine Begriff des Integrals von Regelfunktionen.

Das dem riemannschen Integral zugrundeliegende Konzept besteht darin, den gesuchten Flächeninhalt mit Hilfe des leicht zu berechnenden Flächeninhalts von Rechtecken anzunähern. Man geht dabei so vor, dass man in jedem Schritt zwei Familien von Rechtecken so wählt, dass der Funktionsgraph „zwischen“ ihnen liegt. Indem man sukzessive die Anzahl der Rechtecke erhöht, erhält man mit der Zeit eine immer genauere Annäherung des Funktionsgraphen durch die zu den Rechtecken gehörenden Treppenfunktionen. Entsprechend lässt sich der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der -Achse durch die Flächeninhalte der Rechtecke approximieren.

Definitionen

Es gibt im Wesentlichen zwei gängige Verfahren zur Definition des Riemann-Integrals:

  • das Jean Gaston Darboux zugeschriebene Verfahren mittels Ober- und Untersummen und
  • Riemanns ursprüngliches Verfahren mittels Riemann-Summen.

Die beiden Definitionen sind äquivalent: Jede Funktion ist genau dann im darbouxschen Sinne integrierbar, wenn sie im riemannschen Sinne integrierbar ist; in diesem Fall stimmen die Werte der beiden Integrale überein. In typischen Analysis-Einführungen, vor allem in der Schule, wird heute weitgehend die Darbouxsche Formulierung zur Definition benutzt. Riemannsche Summen treten oft als weiteres Hilfsmittel hinzu, etwa zum Beweis des Hauptsatzes der Integral- und Differenzialrechnung.

Ober- und Untersummen

Dieser Zugang wird meist Jean Gaston Darboux zugeschrieben.

Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 
Untersumme (grün) und Obersumme (grün plus lavendel) für eine Zerlegung in vier Teilintervalle

Das Integrationsintervall wird hierbei in kleinere Stücke zerlegt, der gesuchte Flächeninhalt zerfällt dabei in senkrechte Streifen. Für jeden dieser Streifen wird nun einerseits das größte Rechteck betrachtet, das von der Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit -Achse ausgehend den Graphen nicht schneidet (im Bild grün), und andererseits das kleinste Rechteck, das von der Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit -Achse ausgehend den Graphen ganz umfasst (im Bild jeweils das grüne Rechteck zusammen mit der grauen Ergänzung darüber). Die Summe der Flächeninhalte der großen Rechtecke wird als Obersumme, die der kleinen als Untersumme bezeichnet. Kann man durch geeignete, ausreichend feine Unterteilung des Integrationsintervalles den Unterschied zwischen Ober- und Untersumme beliebig klein machen, so gibt es nur eine Zahl, die kleiner oder gleich jeder Obersumme und größer oder gleich jeder Untersumme ist, und diese Zahl ist der gesuchte Flächeninhalt, das riemannsche Integral.

Für die mathematische Präzisierung seien im Folgenden Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  ein Intervall und Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  eine beschränkte Funktion.

Unter einer Zerlegung Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  von Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  in Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  Teile versteht man eine endliche Folge Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  mit Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit . Dann werden die zu dieser Zerlegung gehörende Ober- und Untersumme definiert als

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 
    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit .

Die Funktion wird dabei durch die Treppenfunktionen angenähert, die auf jedem Teilintervall konstant gleich dem Supremum beziehungsweise Infimum der Funktion auf diesem Intervall ist.

Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 
Bei einer feineren Unterteilung wird die Obersumme kleiner und die Untersumme größer

Bei einer Verfeinerung der Zerlegung wird die Obersumme kleiner, die Untersumme größer (oder sie bleiben gleich). Einer „unendlich feinen“ Zerlegung entsprechen also Infimum der Obersummen sowie Supremum der Untersummen; diese werden als oberes beziehungsweise unteres darbouxsches Integral von Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  bezeichnet:

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 
    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit .

Es werden also jeweils alle möglichen Zerlegungen Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  des Intervalls in eine beliebige endliche Anzahl von Teilintervallen betrachtet.

Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 
Beispiel der Zerlegung eines Intervalls [a,b] in n=8 Teile (Obersumme lila und Untersumme orange)

Es gilt stets

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 

Gilt Gleichheit, so heißt Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  Riemann-integrierbar (oder Darboux-integrierbar), und der gemeinsame Wert

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 

heißt das riemannsche Integral (oder Darboux-Integral) von Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  über dem Intervall Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit .

Riemann-Summen

Der obige Zugang zum Riemann-Integral über Ober- und Untersummen stammt, wie dort beschrieben, nicht von Riemann selbst, sondern von Jean Gaston Darboux. Riemann untersuchte zu einer Zerlegung Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  des Intervalls Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  und zu Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  gehörigen Zwischenstellen Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  Summen der Form

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 
Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 
Geometrische Veranschaulichung der riemannschen Zwischensummen (orange Rechtecke). Es gilt für die gezeigte Zerlegung Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 

die auch als Riemann-Summen oder riemannsche Zwischensummen bezüglich der Zerlegung Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  und den Zwischenstellen Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  bezeichnet werden. Riemann nannte eine Funktion Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  über dem Intervall Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  integrierbar, wenn sich die Riemann-Summen bezüglich beliebiger Zerlegungen unabhängig von den gewählten Zwischenstellen einer festen Zahl Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  beliebig nähern, sofern man die Zerlegungen Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  nur hinreichend fein wählt. Die Feinheit einer Zerlegung Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  wird dabei über die Länge des größten Teilintervalls Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit , das durch Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  gegeben ist, gemessen, also durch die Zahl:

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 

Die Zahl Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  ist dann das Riemann-Integral von Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  über Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit . Ersetzt man die Veranschaulichungen „hinreichend fein“ und „beliebig nähern“ durch eine präzise Formulierung, so lässt sich diese Idee wie folgt formalisieren.

Eine Funktion Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  heißt über dem Intervall Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  Riemann-integrierbar, wenn es zu einer festen Zahl Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  und zu jedem Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  ein Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  gibt, so dass für jede Zerlegung Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  mit Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  und für beliebige zu Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  gehörige Zwischenstellen Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 

gilt. Die Zahl Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  heißt dann das Riemann-Integral von Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  über Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  und man schreibt dafür

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  oder Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit .

Beispielrechnungen

Zur Berechnung des Integrals

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 

mithilfe von Ober- und Untersummen wird das Integrationsintervall Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  in Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  gleiche Teile der Länge Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  zerlegt. Da im Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit -ten Teilintervall der größte Funktionswert Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit ist, beträgt die Obersumme dieser Zerlegung

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 

Die Summe der ersten Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  Quadratzahlen beträgt Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit . Hiermit folgt

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 

Auf ähnliche Weise erhält man für die Untersumme dieser Zerlegung

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 

Für Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  (d. h. für immer feinere Zerlegungen) streben die Untersummen von unten und die Obersummen von oben gegen den gemeinsamen Grenzwert Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit , also ist

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 

Riemann-Integrierbarkeit

Lebesgue-Kriterium

Eine auf einem kompakten Intervall Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  beschränkte Funktion Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  ist nach dem Lebesgue'schen Kriterium für Riemann-Integrierbarkeit genau dann auf Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  Riemann-integrierbar, falls sie auf diesem Intervall fast überall stetig ist. Falls die Funktion Riemann-integrierbar ist, so ist sie auch Lebesgue-integrierbar und beide Integrale sind identisch.

Insbesondere ist über einem kompakten Intervall jede Regelfunktion, jede monoton wachsende oder monoton fallende Funktion und jede stetige oder stückweise stetige Funktion Riemann-integrierbar.

Beispiele

Die Funktion Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  mit

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 

ist stetig in allen irrationalen Zahlen und unstetig in allen rationalen Zahlen. Die Menge der Unstetigkeitsstellen liegt zwar dicht im Definitionsbereich, da diese Menge aber abzählbar ist, ist sie eine Nullmenge. Die Funktion ist damit Riemann-integrierbar.

Die Dirichlet-Funktion Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  mit

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 

ist nirgendwo stetig, sie ist also nicht Riemann-integrierbar. Sie ist aber Lebesgue-integrierbar, da sie fast überall Null ist.

Die Funktion Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  mit

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 

hat abzählbar viele Unstetigkeitsstellen, ist also Riemann-integrierbar. Bei Null existiert der rechtsseitige Grenzwert nicht. Die Funktion hat dort daher eine Unstetigkeitsstelle der zweiten Art. Die Funktion ist somit keine Regelfunktion, das heißt, sie lässt sich nicht gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren. Das Riemann-Integral erweitert also das Integral, das über den Grenzwert von Treppenfunktionen von Regelfunktionen definiert ist.

Verallgemeinerungen des Riemann-Integrals

Uneigentliche Riemann-Integrale

Als uneigentliche Riemann-Integrale bezeichnet man:

  • Integrale mit den Intervallgrenzen Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  oder Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit ; dabei ist
      Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit ,
      Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  und
      Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  mit beliebigem Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 
  • Integrale mit unbeschränkten Funktionen in einer der Intervallgrenzen; dabei ist
      Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  bzw. Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 

Mehrdimensionales riemannsches Integral

Das mehrdimensionale Riemann-Integral basiert auf dem Jordan-Maß. Sei Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  das n-dimensionale Jordan-Maß und sei Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  eine Jordan-messbare Teilmenge. Außerdem sei Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  eine endliche Folge von Teilmengen von Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  mit Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  und Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  für Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  und sei weiter Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  die Funktion, welche die maximale Distanz in einer Menge Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  zurückgibt. Setze nun

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit .

Sei Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  eine Funktion, dann heißt die Summe

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit 

riemannsche Zerlegung der Funktion Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit .

Existiert der Grenzwert

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit ,

so ist die Funktion Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit  Riemann-integrierbar und man setzt

    Riemannsches Integral: Definitionen, Beispielrechnungen, Riemann-Integrierbarkeit .

Dieser Integralbegriff hat die gewöhnlichen Eigenschaften eines Integrals, die Integralfunktion ist linear und es gilt der Satz von Fubini.

Birkhoff-Integral

Eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals für Banachraum-wertige Funktionen stellt das Birkhoff-Integral dar. Dieses verallgemeinert insbesondere den Zugang über Riemann-Summen.

Quellen

Commons: Riemann integral – Sammlung von Bildern und Videos
  • Visualisierung des riemannschen Integrals. Ehemals im Original (nicht mehr online verfügbar); abgerufen am 4. Dezember 2022.@1@2Vorlage:Toter Link/www.geogebra.org (Seite nicht mehr abrufbar. Suche in Webarchiven) bei GeoGebra
  • Visualisierung des riemannschen Integrals. Ehemals im Original (nicht mehr online verfügbar); abgerufen am 4. Dezember 2022.@1@2Vorlage:Toter Link/archives.math.utk.edu (Seite nicht mehr abrufbar. Suche in Webarchiven) bei Visual Calculus
  • Visualisierung des riemannschen Integrals auf mathe-online
  • Mehrdimensionale Integrale in der Encyclopaedia of Mathematics

Tags:

Riemannsches Integral DefinitionenRiemannsches Integral BeispielrechnungenRiemannsches Integral Riemann-IntegrierbarkeitRiemannsches Integral Verallgemeinerungen des Riemann-IntegralsRiemannsches Integral QuellenRiemannsches Integral WeblinksRiemannsches IntegralBernhard RiemannFunktion (Mathematik)FunktionsgraphIntegralrechnungKategorie:MathematikerLebesgue-IntegralRegelfunktionStetige Funktion

🔥 Trending searches on Wiki Deutsch:

Deutsche Eishockey LigaEurovision Song Contest 2024O. J. SimpsonGus BackusPatrick KalupaRömisches ReichLena StolzePraxis mit Meerblick – SchiffbruchMicaela SchäferGame of ThronesClive BurrBerberlöweRepublik ZypernLet’s Dance (Fernsehsendung)Robert LichalKaren GillanAWStatsKünstliche IntelligenzCaterina ValenteLindsey VonnJudith RakersAnton RaubalElvis PresleyFelicitas WollFächerfischStellan SkarsgårdARDGeorgienAll of Us StrangersGerhard Wendland (Schlagersänger)Helmut KohlAlmaniaMilli VanilliTerroranschläge am 11. September 2001BAPGriechisches AlphabetFußball-EuropameisterschaftMax HerreTitanic (Schiff)VW Golf VIIDeutsche SpracheMitgliedstaaten der Europäischen UnionSchoeller (Unternehmerfamilie)SezessionskriegLolita (Sängerin)PavlovaKF51 PantherPeter HahneDeutscher BundestagFalcoMichael JacksonMetallicaZDFVereinigtes KönigreichJeffrey EpsteinTaking Sides – Der Fall FurtwänglerTemu (Online-Marktplatz)ParisEkaterina LeonovaNosferatu-Spinne47 Ronin (2013)Temple de Saint-GervaisSexJanick GersH- und P-SätzeWillkommen bei den HartmannsRené BenkoPaul Verhoeven (Regisseur, 1901)Liste der Staaten EuropasNichtbinäre GeschlechtsidentitätGerard ButlerGods of EgyptThe 355Yun HuangMireille MathieuSauber MotorsportTag der Befreiung ItaliensArmin Laschet🡆 More