Galilei-Transformation

Transformationerne er navngivet efter deres opfinder Galileo Galilei og er grundlæggende i Isaac Newtons klassiske mekanik. For hastigheder tæt på lysets hastighed afviger Galilei-transformationernes værdier for meget fra de observerede værdier, og man anvender derfor i sådanne tilfælde Lorentz-transformationerne – disse er omvendt grundlæggende for den specielle relativitetsteori.

Fysisk situation

Galilei-transformationerne beskriver tilfælde, hvor den samme begivenhed måles ud fra to forskellige observatører. Til hver observatør er der knyttet et koordinatsystem i tre dimensioner, dvs. med en x-, en y- og en z-akse, hvor ingen af akserne buer, og rummet således ikke krummer. Matematisk forklaret opfylder koordinatsystemerne den pythagoræiske læresætning. Et sådant koordinatsystem kaldes et referencesystem. For at Galilei-transformationerne fungerer, skal det yderligere gælde, at referencesystemerne, eller observatørerne, bevæger sig med en konstant hastighed i forhold til hinanden, hvilket gør systemerne til inertialsystemer pr. definition.

Udledning

Observeres en begivenhed i de to inertialsystemer, vil der være forskelle i deres værdier. Inertialsystemerne kan for overskuelighedens skyld deles op i et S-system og et S' -system (S' udtales "S-mærke"), hvor S har en hastighed på 0, mens S' har den konstante hastighed v. Orienterer vi akserne i de to initialsystemer således at de er sammenfaldende til tiden t=0 og således at bevægelsen kun foregår i x-aksens retning og dermed at begivenheden har samme y-, z- og t- koordinat i både S og S' . får vi følgende relationer mellem akserne i de to systemer:

${\displaystyle x'=x-vt}$ 

${\displaystyle y'=y}$ 

${\displaystyle z'=z}$ 

${\displaystyle t'=t}$ 

hvor mærket markerer, at det er værdien i S' -systemet. For x' -værdien vil denne også være lig x til tiden t=0.

Man kan også udtrykke det således: positionen (langs x-aksen) af begivenheden vil i S' være lig med positionen i S minus den afstand som S' har tilbagelagt i tidsrummet t.

Af formlerne ovenfor ses det, at det placering er afhængig af inertialsystemernes indbyrdes hastighedforskel, mens tiden i sig selv er absolut og altså fuldstændig uafhængig.

For at kunne omregne hastighed og acceleration skal man huske på, at hastighed er ændring i position over tid, mens acceleration er ændring i hastighed over tid. Formlerne skal altså henholdsvis differentieres og dobbeltdifferentieres. For hastighed (symboliseret ved u) bliver det:

${\displaystyle u_{x}'=u_{x}-v}$ 

${\displaystyle u_{y}'=u_{y}}$ 

${\displaystyle u_{z}'=u_{z}}$ 

Formlerne giver intuitivt mening: y- og z-positionerne er uændrede i S', så de tilsvarende hastigheder må også være de samme. For hastigheden i x-retningen må den i S være den samme som i S' plus S''s hastighed. Hastigheden i x-retningen er altså kun afhængig af inertialsystemets hastighed.

For acceleration (skrevet a) differentieres transformationerne for hastighed:

${\displaystyle a_{x}'=a_{x}}$ 

${\displaystyle a_{y}'=a_{y}}$ 

${\displaystyle a_{z}'=a_{z}}$ 

Nu ses det, at der ikke på noget tidspunkt eller nogen værdi af v vil være en forskel i accelerationerne målt i de to inertialsystemer – acceleration er med andre ord invariant. Jf. Newton er kraft givet ved

${\displaystyle F=ma}$ 

Så antages det, at massen er absolut, må kræfterne i de to inertialsystemer også være de samme. hvilket vil sige, at man ikke oplever kræfter anderledes, hvis man bevæger sig med en anden konstant hastighed. Dette kaldes for det Newtonske relativitetsprincip.