Cosenu: L'ascisa correspondiente a un puntu d'una circunferencia centrada nel orixe (c = 1)

O tamién como l'abcisa correspondiente a un puntu que pertenez a una circunferencia unitaria centrada nel orixe.

Cosenu
función trigonométrica y función par (es)

En matemátiques, el cosenu ye la función algamada al facer variar la razón mentada, siendo una de les funciones trescendentes.

${\displaystyle \theta ,\phi \in \ \mathbb {R} }$  Entós:

${\displaystyle \cos \left(\phi +\theta \right)=cos(\phi )cos(\theta )-sin(\phi )sin(\theta )}$ 

Si facemos

${\displaystyle \cos \left(\phi +(-\theta \right))=cos(\phi )cos(-\theta )-sin(\phi )sin(-\theta )}$ 

algamamos la resta. Como'l cosenu ye par, el signu nun importa y como'l senu ye impar, el signu sal:

${\displaystyle \cos \left(\phi -\theta \right)=cos(\phi )cos(\theta )+sin(\phi )sin(\theta )}$ 

Tenemos que

${\displaystyle \cos \left(\phi +\theta \right)=cos(\phi )cos(\theta )-sin(\phi )sin(\theta )}$ 

Faciendo ${\displaystyle \theta =\phi }$  Entós

${\displaystyle cos\left(2\phi \right)=cos^{2}(\phi )-sin^{2}(\phi )}$ 

Hai de decatase que namái con un cenciellu remanéu alxebraicu podemos algamar la fórmula del cosenu del ángulu mediu. Seya ${\displaystyle \alpha ,\phi \in \mathbb {R} }$ 

Como ${\displaystyle cos\left(2\phi \right)=cos^{2}(\phi )-sin^{2}(\phi )}$ 

podemos escribila como

${\displaystyle cos\left(2\phi \right)=1-2sin^{2}(\phi )}$ 

Seya ${\displaystyle \phi ={\frac {\alpha }{2}}}$ 

Entós algamamos

${\displaystyle |cos({\frac {\alpha }{2}})|={\sqrt {\frac {cos(\alpha )+1}{2}}}}$ 

y analizando los signos de la espresión pa cada cuadrante, finamos con que:

${\displaystyle cos({\frac {\alpha }{2}})={\sqrt {\frac {cos(\alpha )+1}{2}}}}$ 

${\displaystyle Cos(\phi )+Cos(\theta )=2cos({\frac {\phi +\theta }{2}})cos({\frac {\phi -\theta }{2}})}$ 

Amosamientu

Tomamos ${\displaystyle \alpha \,\beta \,\theta ,\phi \in \ \mathbb {R} }$ 

Entós

${\displaystyle Cos\left(\alpha +\beta \right)+Cos(\alpha -\beta )=cos(\alpha )cos(\beta )-sin(\alpha )sin(\beta )+cos(\alpha )cos(\beta )+sin(\alpha )sin(\beta )}$ 

${\displaystyle Cos\left(\alpha +\beta \right)+Cos(\alpha -\beta )=2cos(\alpha )cos(\beta )}$ 

Faciendo ${\displaystyle \theta =\alpha +\beta }$  y ${\displaystyle \phi =\alpha -\beta }$ 

Entós, resolviendo el sistema, tiense que

${\displaystyle \alpha \ ={\frac {\theta +\phi }{2}}}$ 

${\displaystyle \beta \ ={\frac {\theta -\phi }{2}}}$ 

Reemplazando algámase

${\displaystyle Cos\left(\phi \right)+Cos(\theta )=2cos({\frac {\theta +\phi }{2}})cos({\frac {\theta -\phi }{2}})}$ 

Análogamente amuésase que

${\displaystyle Cos(\phi )-Cos(\theta )=-2Sin({\frac {\phi +\theta }{2}})Sin({\frac {\theta -\phi }{2}})}$ 

Según la definición de derivada:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ 

lo que ye

${\displaystyle \cos '(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos(x)}{h}}}$ 

Entós, usando les fórmules anteriormente consiñaes, tiense que

${\displaystyle \cos '(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos(x)\cdot \cos(h)-\sin(x)\cdot \sin(h)-\cos(x)}{h}}}$ 

Fautorizando

${\displaystyle \cos '(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos(x)\cdot ((\cos(h)-1))-\sin(x)\cdot \sin(h)}{h}}}$ 

Separtando tenemos

${\displaystyle \cos '(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos(x)\cdot ((\cos(h)-1))}{h}}-\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)\cdot \sin(h)}{h}}}$ 

Sabiendo que ${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin(h)}{h}}=1}$  y que'l primer límite queda determináu pola regla de L'Hopital, entós tenemos que

${\displaystyle \cos '\left(x\right)=-\sin(x)}$ 

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