ميكانيك هاملتوني مبرهنة ليوفيل

لنفرض أنه لدينا مجموعة نقاط ${\displaystyle X}$  حجم هذه المجموعة في فضاء بعده n يمكن فهمه على أنه دالة نسميها ${\displaystyle \rho }$  من ال ${\displaystyle R^{n}\rightarrow R}$  وهي دالة تنسب لكل مجموعة من حجمها. ومن البديهي أنه على هذه الدالة أن تكون موجبة دائما حيث أنه لا وجود لحجم سالب. وبهذا يكون حجم المجموعة ${\displaystyle X}$ :

${\displaystyle Vol_{\rho }\left(X\right)=\int _{X}\rho (x)dx}$ 

فلنفرض أنه لدينا النظام التالي:

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$ 

و مجموعة من النقاط البدئية ${\displaystyle X}$  يمكن أن ننسب لها حجما

${\displaystyle Vol_{\rho }\left(X\right)}$ 

و إذا فرضنا أن ${\displaystyle \varphi _{t}\left(X\right)}$  هي مجموعة حلول النظام the set of the flows فإن مبرهنة ليوفيل تقول ما يلي:

${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial t}}Vol_{\rho }\left(\varphi _{t}\left(X\right)\right)\right|_{t=0}=Vol_{div\left(\rho f\right)}\left(X\right)}$ 

حيث ${\displaystyle div=\nabla }$