Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 31

Konsequenzen für meromorphe Funktionen

Satz

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann ist

${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\cong \Gamma {\left(X,{\mathcal {T}}\right)}/\operatorname {bild} {\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {T}}\right)}\right)}\,.$

Die erste Kohomologieder Strukturgarbeentspricht also den globalenHauptteilverteilungenmodulo den Hauptteilverteilungen zumeromorphen Funktionen.

Beweis

NachLemma 18.12haben wir die kurze exakte Garbensequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {T}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.

Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenzenthält

0\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {T}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}})\longrightarrow .

Es genügt daher zu zeigen, dass die Abbildung

\Gamma {\left(X,{\mathcal {T}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})

surjektiv ist. NachAufgabe 30.13ist für hinreichend viele Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ die kurze exakte Sequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})/{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

derart, dass

\delta \colon H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})/{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})

surjektiv ist. Wegen

{}{\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})\subseteq {\mathcal {M}}\,

hat man einen Garbenhomomorphismus

{\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})/{\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {M}}/{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {T}}

und der verbindende Homomorphismus faktorisiert dadurch.

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Korollar

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann ist

${}H^{1}(X,{\mathcal {M}})=0\,.$

Beweis

SieheAufgabe 31.1.

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Eine wichtige Ergänzung zumResiduensatzist die folgende Aussage.

Korollar

Es sei ${}X$ einekompakte zusammenhängende riemannsche Flächeund es sei ${}\tau \in \Gamma {\left(X,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\right)}$ eine Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen.

Dann ist ${}\tau$ genau dann die Hauptteilverteilung zu einermeromorphen Differentialformauf ${}X$ , wenn das Gesamtresiduum ${}\sum _{P\in X}\operatorname {Res} _{P}\left(\tau \right)$ gleich ${}0$ ist.

Beweis

Die Hinrichtung wurde inSatz 17.13gezeigt, da eine die Hauptteilverteilung realisierende meromorphe Funktion außerhalb des Trägers holomorph ist. Aufgrund vonLemma 18.15und Korollar 31.2,angewendet auf ${}{{\mathcal {M}}^{(1)}}$ , haben wir eine exakte Sequenz

0\longrightarrow H^{0}(X,\Omega _{X})\longrightarrow H^{0}(X,{{\mathcal {M}}^{(1)}})\longrightarrow H^{0}(X,{{\mathcal {T}}^{(1)}})\longrightarrow H^{1}(X,\Omega _{X})\longrightarrow 0.

Die Verteilung ${}\tau$ kommt genau dann von links, wenn sie unter dem verbindenden Homomorphismus nach ${}0$ abbildet, was wegen der Residueneigenschaft der Fall ist.

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Eine topologische Konsequenz

Lemma

Auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ vomGeschlecht ${}g$

besitzt ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ , wobei ${}{\mathbb {C} }$ hier die Garbeder lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${}{\mathbb {C} }$ bezeichnet, die Dimension ${}2g$ .

Beweis

Aus der kurzen exakten Garbensequenz(sieheLemma 15.8)

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

erhält man die lange exakte Kohomologiesequenz

0\longrightarrow H^{0}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{0}(X,\Omega _{X}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,\Omega _{X}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{2}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow 0

von ${}{\mathbb {C} }$ -Vektorräumen.Wegen des Zusammenhangs sind die beiden ersten Terme gleich ${}{\mathbb {C} }$ . Hinten haben wir ${}H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0$ gemäßBemerkung 25.8verwendet. Ferner weiß man aus der Topologie ${}H^{2}(X,{\mathbb {C} })={\mathbb {C} }$ .WegenKorollar 30.6ist ${}H^{1}(X,\Omega _{X})$ eindimensional, es liegt also hinten auch ein Isomorphismus vor. Dies zusammen bedeutet, dass eine kurze exakte Sequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H^{0}(X,\Omega _{X})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H^{1}(X,{\mathbb {C} })\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

vorliegt. Die Räume links und rechts haben nachKorollar 30.9die Dimension ${}g$ , also besitzt der Raum in der Mitte die Dimension ${}2g$ .

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Die Formel von Riemann-Hurwitz

Definition

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischen denzusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ und ${}Y$ .Man nennt denDivisor ${}R$ , der für jeden Punkt ${}P\in X$ die Ordnung

{}R_{P}=\operatorname {Verz} {\left(P{|}\varphi (P)\right)}-1\,

zugewiesen bekommt, denVerzweigungsdivisor von ${}\varphi$ .

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischen denzusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ und ${}Y$ mit demVerzweigungsdivisor ${}R$ . Dann gelten folgende Aussagen

Der Verzweigungsdivisor ist in der Tat einDivisor.
Es ist ${}\varphi$ genau in den Punkten des Trägers von ${}R$ verzweigt.
Wenn ${}\varphi$ lokal auf offenen Kreisscheiben ${}U\subseteq X$ bzw. ${}V\subseteq Y$ durch eine holomorphe Funktion ${}f\colon U\rightarrow V$ beschrieben wird, so ist für ${}P\in U$ die Ordnung ${}R_{P}$ gleich der Nullstellenordnungvon ${}f'$ in ${}P$ .

Beweis

SieheAufgabe 31.1.

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Lemma

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischen denkompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Es liegt die Untergarbenbeziehung
${}\varphi ^{*}\Omega _{Y}\subseteq \Omega _{X}\,$
vor.
Die Restklassengarbe ${}\Omega _{X}/\varphi ^{*}\Omega _{Y}$ besitzt endlichen Träger, und es gilt
${}{\left(\Omega _{X}/\varphi ^{*}\Omega _{Y}\right)}_{P}={\mathbb {C} }^{R_{P}}\,$
mit
${}R_{P}=\operatorname {Verz} {\left(P{|}\varphi (P)\right)}-1\,.$
Zwischen den kanonischen Divisorenbesteht die Beziehung
${}K_{X}\sim \varphi ^{*}K_{Y}+R\,.$

Beweis

Der Rückzug von Differentialformen liefert einen Garbenhomomorphismus
$\varphi ^{*}\Omega _{Y}\longrightarrow \Omega _{X}.$
Lokal liegt auf offenen Kreisscheiben eine Abbildung
$f\colon U\longrightarrow V,\,z\longmapsto f(z)=w,$
vor. Die Differentialform ${}dw$ wird nach ${}f'(z)dz$ zurückgezogen. Da ${}f$ nicht konstant ist, ist ${}f'$ nicht die Nullfunktion. Es liegt somit lokal ein kommutatives Diagramm
${\begin{matrix}\varphi ^{*}{\mathcal {O}}_{Y}\cong {\mathcal {O}}_{X}&{\stackrel {1\mapsto f'}{\longrightarrow }}&{\mathcal {O}}_{X}&\\\!\!\!\!\!1\mapsto dw\downarrow &&\downarrow 1\mapsto dz\!\!\!\!\!&\\\varphi ^{*}\Omega _{Y}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Omega _{X}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, wobei die vertikalen Abbildungen Isomorphien sind. Da die obige Abbildung als Garbenhomomorphismus injektiv ist, gilt dies auch für die untere.
Es liegt insgesamt die Situation einer invertierbaren Garbe als Untergarbe einer invertierbaren Garbe vor, damit besitzt auf der kompakten riemannschen Fläche ${}X$ die Restklassengarbe automatisch endlichen Träger, sieheLemma 28.1.In der Situation von Teil (1) wird die Restklassengarbe lokal als ${}{\mathcal {O}}_{X}/f'{\mathcal {O}}_{X}$ beschrieben bzw. halmweise durch
${}{\left({\mathcal {O}}_{X}/f'{\mathcal {O}}_{X}\right)}_{P}={\mathcal {O}}_{X,P}/f'{\mathcal {O}}_{X,P}\,.$
Dieser Restklassenring ist ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {C} }$ -Vektorraumder Dimension ${}\operatorname {ord} _{P}\,(f')$ . Dies ist nachLemma 31.6die Verzweigungsordnung von ${}\varphi$ in ${}P$ weniger ${}1$ .
Dies folgt aus (2).

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Die folgende Aussage heißt Riemann-Hurwitz-Formel.

Satz

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischen denkompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ .

Dann gilt für die Geschlechterdie Beziehung

${}2g(X)-2=\operatorname {Grad} \,(\varphi )(2g(Y)-2)+\operatorname {Grad} \,(R)\,.$

Beweis

Dies folgt ausLemma 31.7,Satz 30.10undLemma 19.20.

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Korollar

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine nichtkonstanteholomorphe Abbildungauf einerkompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ .

Dann gilt zwischen dem Geschlechtvon ${}X$ , dem Grad von ${}\varphi$ und demVerzweigungsdivisor ${}R$ die Beziehung

${}g(X)=-\operatorname {Grad} \,(\varphi )+{\frac {\operatorname {Grad} \,(R)}{2}}+1\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar ausSatz 31.8undLemma 27.2.

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Korollar

Es sei ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine nichtkonstanteholomorphe Abbildungvon derprojektiven Geradenin sich.

Dann gilt zwischen dem Grad von ${}\varphi$ und demVerzweigungsdivisor ${}R$ die Beziehung

${}\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,.$

Beweis

SieheAufgabe 31.3.

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Die folgende Aussage kann man auch mitAufgabe 31.7erhalten.

Korollar

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischen denkompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ .

Dann gilt für die Geschlechterdie Abschätzung

${}g(X)\geq g(Y)\,.$

Beweis

Wegen der Effektivität des Verzweigungsdivisorsbesitzt dieser einen nichtnegativen Grad und daher folgt ausSatz 31.8direkt

{}2g(X)-2\geq \operatorname {Grad} \,(\varphi )(2g(Y)-2)\geq (2g(Y)-2)\,

und somit die Behauptung.

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Die folgende Aussage heißt Satz von Lüroth.

Korollar

Es sei ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow Y$ eine nichtkonstanteholomorphe Abbildung,wobei ${}Y$ einekompakte zusammenhängende riemannsche Flächesei.

Dann ist ${}Y$ ebenfalls die projektive Gerade.

Beweis

NachLemma 27.2ist

{}g{\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\right)}=0\,,

somit ist nachKorollar 31.11auch ${}g{\left(Y\right)}=0$ .MitLemma 27.3ergibt sich wiederum, dass ${}Y$ biholomorph zu ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ist.

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Korollar

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine Überlagerungzwischenkompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ .

Dann ist ${}\varphi$ ein Isomorphismus oder ${}g(X)=g(Y)=1$ oder ${}g(X)>g(Y)\geq 2$ .

Beweis

Unverzweigt bedeutet mitLemma 31.6 (2),dass der Verzweigungsdivisor trivial ist und damit insbesondere den Grad ${}0$ besitzt. AusSatz 31.8ergibt sich die Bedingung

{}g(X)-1=\operatorname {Grad} \,(\varphi )(g(Y)-1)\,.

Dies führt zu den angegebenen Möglichkeiten.

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Beispiel

Auf einem komplexen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ ist die Multiplikationsabbildung

[n]\colon {\mathbb {C} }/\Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma ,\,[z]\longmapsto n[z],

eineÜberlagerungvom Grad ${}n^{2}$ , da jeder Punkt genau ${}n^{2}$ Bildpunkte besitzt, vergleicheLemma 8.14.Ein solches Verhalten ist nachSatz 31.8nur bei Geschlecht ${}1$ möglich.

Beispiel

Die Operation derGruppe ${}\mathbb {Z} /(2)$ auf der Sphäre ${}S^{2}\cong {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ,bei der das nichttriviale Element antipodale Punkte ineinander überführt werden, istfixpunktfrei.Daher liegt nachSatz 7.10eine Überlagerung

S^{2}\longrightarrow S^{2}/\sim

vor. NachKorollar 31.13in Verbindung mitLemma 27.2kann diese Operation (also die Antipodenabbildung)nicht holomorphsein. In der Tat ist der Quotient ${}S^{2}/\sim$ keine riemannsche Fläche,sondern die nicht orientierbare reell-projektive Ebene ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {R} }^{2}$ , vergleicheLemma 5.10.

Hyperelliptische Kurven

Jede kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche ${}X$ besitzt nachSatz 26.3eine endliche holomorphe Abbildung

\varphi \colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}.

Man kann sich fragen, was dabei der minimale Grad ist, mit dem man ${}X$ oberhalb der projektiven Geraden realisieren kann. Grad ${}1$ ist nur bei einem Isomorphismus möglich, also wenn ${}X$ selbst die projektive Gerade ist. Riemannsche Flächen vom Geschlecht ${}1$ (also komplexe Tori bzw. elliptische Kurven)lassen sich durch eine endliche holomorphe Abbildung vom Grad ${}2$ realisieren, siehe etwa den Beweis zuSatz 26.2.Es gibt aber auch kompakte riemannsche Fläche von einem Geschlecht ${}\geq 2$ , die sich mit Grad ${}2$ realisieren lassen.

Definition

Einekompakte zusammenhängende riemannsche Fläche ${}X$ heißthyperelliptisch,wenn es eine endliche holomorphe Abbildung

X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}

vom Grad ${}2$ gibt und dasGeschlechtvon ${}X$ ${}\geq 2$ ist.

Beispiele ergeben sich ausKorollar 2.8,Lemma 9.5undLemma 14.13.Viele Aussagen wie auch die folgende über hyperelliptische riemannsche Flächen gelten in der Regel erst recht auch für elliptische riemannsche Flächen, entscheidend ist die Existenz der Abbildung vom Grad ${}2$ .

Korollar

Es sei ${}X$ einehyperelliptische riemannsche Flächemit einer endlichen holomorphen Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ vom Grad ${}2$ .

Dann gilt für das Geschlecht ${}g$ und denVerzweigungsdivisor ${}R$ von ${}\varphi$ die Beziehung

${}\operatorname {Grad} \,(R)=2g+2\,.$

Beweis

SieheAufgabe 31.9.

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