Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 31

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eine kompaktezusammenhängenderiemannsche Fläche.Zeige

${\displaystyle {}H^{1}(X,{\mathcal {M}})=0\,.}$

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$eine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischen denzusammenhängendenriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$mit demVerzweigungsdivisor${\displaystyle {}R}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Der Verzweigungsdivisor ist in der Tat einDivisor.
2. Es ist ${\displaystyle {}\varphi }$ genau in den Punkten des Trägers von ${\displaystyle {}R}$ verzweigt.
3. Wenn ${\displaystyle {}\varphi }$ lokal auf offenen Kreisscheiben${\displaystyle {}U\subseteq X}$ bzw.${\displaystyle {}V\subseteq Y}$durch eine holomorphe Funktion${\displaystyle {}f\colon U\rightarrow V}$beschrieben wird, so ist für${\displaystyle {}P\in U}$die Ordnung ${\displaystyle {}R_{P}}$ gleich der Nullstellenordnungvon ${\displaystyle {}f'}$ in ${\displaystyle {}P}$.

Zeige, dass es zwischen je zwei zusammenhängenden kompakten riemannschen Flächen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$eine nichtkonstante stetige Abbildung${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$gibt.

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$eine nichtkonstanteholomorphe Abbildungvon derprojektiven Geradenin sich. Zeige, dass zwischen dem Grad von ${\displaystyle {}\varphi }$ und demVerzweigungsdivisor${\displaystyle {}R}$ die Beziehung

${\displaystyle {}\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,}$

gilt.

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$, ${\displaystyle {}z\longmapsto z^{n}}$,die durch die Potenzierung(${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$)gegebeneholomorphe Abbildungvon derprojektiven Geradenin sich. Bestimme denVerzweigungsdivisor${\displaystyle {}R}$ von ${\displaystyle {}\varphi }$ und beweise die Formel von Riemann-Hurwitz

${\displaystyle {}\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,}$

in diesem Fall direkt.

Es sei${\displaystyle {}F\in {\mathbb {C} }[z]}$ein Polynom vom Grad${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$und sei${\displaystyle {}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$, ${\displaystyle {}z\longmapsto F(z)}$,die zugehörigeholomorphe Abbildungvon derprojektiven Geradenin sich.

1. Bestimme denVerzweigungsdivisor${\displaystyle {}R}$ von ${\displaystyle {}\varphi }$.
2. Beweise die Formel von Riemann-Hurwitz

   ${\displaystyle {}\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,}$

   in diesem Fall direkt.

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$, ${\displaystyle {}z\longmapsto {\frac {(z-1)(z+1)}{z}}}$,die durch die rationale Funktion ${\displaystyle {}{\frac {(z-1)(z+1)}{z}}}$ gegebeneholomorphe Abbildungvon derprojektiven Geradenin sich.

1. Bestimme denVerzweigungsdivisor${\displaystyle {}R}$ von ${\displaystyle {}\varphi }$.
2. Beweise die Formel von Riemann-Hurwitz

   ${\displaystyle {}\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,}$

   in diesem Fall direkt.

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$eine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischen denkompaktenzusammenhängendenriemannschen Flächen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$.

1. Zeige, dass derRückzugvonholomorphen Differentialformeninjektivist.
2. Man folgere aus (1), dass für die Geschlechterdie Abschätzung

   ${\displaystyle {}g(X)\geq g(Y)\,}$

   gilt.

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$eine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischenkompaktenzusammenhängendenriemannschen Flächen.Folgt aus einer Isomorphie${\displaystyle {}\varphi ^{*}\Omega _{Y}\cong \Omega _{X}}$,dass ${\displaystyle {}\varphi }$ biholomorphist?

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einehyperelliptischeriemannsche Flächemit einer endlichenholomorphen Abbildung${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$vom Grad ${\displaystyle {}2}$. Zeige, dass für das Geschlecht${\displaystyle {}g}$ und denVerzweigungsdivisor${\displaystyle {}R}$ von ${\displaystyle {}\varphi }$ die Beziehung

${\displaystyle {}\operatorname {Grad} \,(R)=2g+2\,}$

gilt.

Zeige, dass es kompaktezusammenhängenderiemannsche Flächen${\displaystyle {}X}$ vomGeschlecht${\displaystyle {}g\geq 2}$gibt mit einem Punkt${\displaystyle {}P\in X}$und einem lokalen Parameter${\displaystyle {}z}$ in ${\displaystyle {}P}$ derart, dass die Kohomologieklassen in ${\displaystyle {}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ zu den Hauptteilen${\displaystyle {}{\frac {1}{z}},\ldots ,{\frac {1}{z^{g}}}}$ nicht linear unabhängigsind.