Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 32

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineglatteirreduzibleprojektive Kurveüber ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ und sei ${\displaystyle {}X_{\operatorname {an} }}$ die zugehörige kompakteriemannsche Fläche.Es seien${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{n}\in X}$Punkte und${\displaystyle {}U=X\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}}$.Charakterisiere den algebraischen Schnittring

${\displaystyle \Gamma {\left(X_{\operatorname {alg} },{\mathcal {O}}_{X_{\operatorname {alg} }}\right)}}$

in ${\displaystyle {}X_{\operatorname {an} }}$, also allein durch analytische Konzepte.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineglatteirreduzibleprojektive Kurveüber ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ und sei ${\displaystyle {}X_{\operatorname {an} }}$ die zugehörige kompakteriemannsche Flächeund sei${\displaystyle {}P\in X}$ein Punkt. Charakterisiere den algebraischen Halm ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X_{\operatorname {alg} },P}}$ in ${\displaystyle {}X_{\operatorname {an} }}$, also allein durch analytische Konzepte. Man erläutere ferner, dass eine solche Charakterisierung allein innerhalb des analytischen Halmes ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X_{\operatorname {an} },P}}$ nicht möglich ist.

Es sei${\displaystyle {}P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}}$ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ eindiskreter Bewertungsringund sei${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(\pi )}$.Es sei${\displaystyle {}K=R/(\pi )}$der Restklassenkörpervon ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass es für jedes${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ einen${\displaystyle {}R}$-Modulisomorphismus

${\displaystyle (\pi ^{n})/(\pi ^{n+1})\longrightarrow K}$

gibt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ eine${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Algebra,die ein diskreter Bewertungsringist, deren Restklassenkörpergleich ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ ist. Es sei ${\displaystyle {}\pi }$ eine Ortsuniformisierende. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Jedes Element${\displaystyle {}r\in R}$kann man als

   ${\displaystyle {}r=\pi s+r_{0}\,}$

   mit${\displaystyle {}r_{0}\in {\mathbb {C} }}$schreiben.

2. Zu jedem ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$besitzt jedes Element${\displaystyle {}r\in R}$eine Darstellung

   ${\displaystyle {}r=s_{n}\pi ^{n}+r_{n-1}\pi ^{n-1}+\cdots +r_{2}\pi ^{2}+r_{1}\pi +r_{0}\,}$

   mit${\displaystyle {}r_{j}\in {\mathbb {C} }}$und${\displaystyle {}s_{n}\in R}$.

3. Der Restklassenmodul${\displaystyle {}Q(R)/R}$ ist isomorph zum${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Vektorraummit der Basis${\displaystyle {}\pi ^{-1},\pi ^{-2},\dots }$.