Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 33

Wir betrachten in der Situation vonBeispiel 24.8die Basis${\displaystyle {}\omega _{1}={\frac {dz}{w}}}$und${\displaystyle {}\omega _{2}={\frac {zdz}{w}}}$von ${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}$.

1. Bestimme diePeriodentupelfür die Wege ${\displaystyle {}\gamma ,\theta \circ \gamma ,\theta ^{2}\circ \gamma ,\theta ^{3}\circ \gamma }$ bezüglich dieser Basis.
2. Bestimme dasPeriodengitterbezüglich dieser Basis.

Zeige, dass eineholomorphe Abbildung${\displaystyle {}p\colon X\rightarrow Y}$zwischenkompaktenzusammenhängendenriemannschen Flächen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$in natürlicher Weise einen Homomorphismus

${\displaystyle J(X)\longrightarrow J(Y)}$

zwischen den zugehörigenjacobischen Varietäteninduziert.

VerallgemeinereSatz 27.10unter Verwendung der dortigen Notation, dass die Zuordnung ${\displaystyle {}\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{\gamma _{i}}\omega }$ zumPeriodengittervon ${\displaystyle {}X}$ gehört.

Es sei ${\displaystyle {}X={\mathbb {C} }/\Gamma }$einkomplexer Toruszu einemGitter${\displaystyle {}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }}$.SetzeKorollar 24.5,Korollar 28.9undSatz 33.9miteinander in Beziehung.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche FlächevomGeschlecht${\displaystyle {}g}$. Zeige, dass es eine (bis auf die Wahl eines Punktes aus ${\displaystyle {}X}$)natürliche surjektiveAbbildung

${\displaystyle X^{g}\longrightarrow J(X)}$

gibt.