Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 30

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper,${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ seien${\displaystyle {}K}$-Vektorräumeüber ${\displaystyle {}K}$ und

${\displaystyle \Psi \colon V\times W\longrightarrow K}$

sei eineBilinearform.Man sagt, dass ${\displaystyle {}\Psi }$ einevollständige Dualitätdefiniert, wenn die Abbildung

${\displaystyle V\longrightarrow {W}^{*},\,v\longmapsto {\left(w\mapsto \Psi (v,w)\right)},}$

bijektivist.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ einendlichdimensionaler${\displaystyle {}K}$-Vektorraummit dem Dualraum${\displaystyle {}{V}^{*}}$. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle V\times {V}^{*}\longrightarrow K,\,(v,f)\longmapsto f(v),}$

einevollständige Dualitätzwischen${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}{V}^{*}}$stiftet.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper, sei ${\displaystyle {}V}$ einendlichdimensionaler${\displaystyle {}K}$-Vektorraumund sei ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ eineBilinearformauf ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass die Bilinearform genau dann nichtausgeartetist, wenn

${\displaystyle V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}$

einevollständige Dualitätist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und es seien${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$endlichdimensionale${\displaystyle {}K}$-Vektorräume.Zeige, dass durch die Spur

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\times \operatorname {Hom} _{K}{\left(W,V\right)}\longrightarrow K,\,(A,B)\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(A\circ B\right)},}$

einevollständige Dualitätgestiftet wird, dass also${\displaystyle {}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {Hom} _{K}{\left(W,V\right)}}$in natürlicher Weise dual zueinander sind.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper,${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ seienendlichdimensionale${\displaystyle {}K}$-Vektorräumeüber ${\displaystyle {}K}$ und

${\displaystyle \Psi \colon V\times W\longrightarrow K}$

sei eineBilinearform,die einevollständige Dualitätdefiniere. Zeige, dass dann auch die Abbildung

${\displaystyle W\longrightarrow {V}^{*},\,w\longmapsto {\left(v\mapsto \Psi (v,w)\right)},}$

bijektivist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und sei

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

einekurze exakte Sequenzvon ${\displaystyle {}K}$-Vektorräumen${\displaystyle {}L,M,N}$. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{N}^{*}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{M}^{*}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{L}^{*}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

derDualräumeführt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche Flächeund ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ eineinvertierbare Garbeauf ${\displaystyle {}X}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}H^{1}(X,{\mathcal {L}})}$ in natürlicher Weise dual zu ${\displaystyle {}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {L}},\Omega _{X}\right)}}$ ist.

Formuliere den Satz von Riemann-Rochohne erste Kohomologie.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche Flächevom Geschlecht${\displaystyle {}g}$. Zeige, dass für jedeinvertierbare Garbe${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$, deren Grad${\displaystyle {}\geq 2g-1}$ ist,

${\displaystyle {}H^{1}(X,{\mathcal {L}})=0\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche Flächevom Geschlecht${\displaystyle {}g}$ und sei ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ eineinvertierbare Garbeauf ${\displaystyle {}X}$.

1. DerGradvon ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ sei positiv. Zeige, dass ${\displaystyle {}h^{0}(X,{\mathcal {L}}^{n})}$ für ${\displaystyle {}n}$ hinreichend groß mit einem linearen Polynom in ${\displaystyle {}n}$ übereinstimmt.
2. Der Grad von ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ sei negativ. Zeige, dass ${\displaystyle {}h^{0}(X,{\mathcal {L}}^{n})}$ für ${\displaystyle {}n}$ hinreichend groß mit dem Nullpolynom übereinstimmt.
3. Was gilt, wenn der Grad von ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ gleich ${\displaystyle {}0}$ ist?

Zeige, dass dasGeschlechteines komplexen Torus${\displaystyle {}{\mathbb {C} }/\Gamma }$ gleich ${\displaystyle {}1}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche FlächevomGeschlecht${\displaystyle {}1}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\Omega _{X}}$ isomorph zur Strukturgarbe${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche Flächeund ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ eineinvertierbare Garbeauf ${\displaystyle {}X}$. Zeige, dass es eine invertierbare Garbe ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}}$ und eine Einbettung${\displaystyle {}{\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {M}}}$derart gibt, dass die zugehörige Abbildung

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}})}$

die Nullabbildung ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche Flächevom Geschlecht${\displaystyle {}g}$. Es seien${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{n}\in X}$Punkte mit${\displaystyle {}n\geq 2g-1}$.Zeige, dass es einen surjektivenverbindenen Homomorphismus

${\displaystyle \delta \colon H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})/{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

gibt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche FlächevomGeschlecht${\displaystyle {}1}$. Es sei ${\displaystyle {}D}$ einDivisorauf ${\displaystyle {}X}$ vomGrad${\displaystyle {}3}$ und sei ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}(D)}$ die zugehörigeinvertierbare Garbeauf ${\displaystyle {}X}$.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}}$ dieDimension${\displaystyle {}3}$ besitzt.
2. Es sei ${\displaystyle {}x,y,z}$ eineBasisvon ${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}}$. Zeige, dass es in ${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(3D)\right)}}$ eine nichttriviale Beziehung zwischen den Monomen in ${\displaystyle {}x,y,z}$ vom Grad ${\displaystyle {}3}$ geben muss.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche Fläche.Es sei ${\displaystyle {}D}$ einDivisorauf ${\displaystyle {}X}$ vomGrad${\displaystyle {}4}$ und sei ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}(D)}$ die zugehörigeinvertierbare Garbeauf ${\displaystyle {}X}$.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}}$ dieDimension${\displaystyle {}4}$ besitzt.
2. Es sei ${\displaystyle {}x,y,z,w}$ eineBasisvon ${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}}$. Zeige, dass es in ${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(2D)\right)}}$ zumindest zwei linear unabhängige Beziehungen zwischen den Monomen in ${\displaystyle {}x,y,z,w}$ vom Grad ${\displaystyle {}2}$ geben muss.