Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 30

Hier stehen links Modulgarbenhomomorphismen und rechts ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-lineare Abbildungen, die Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus. Es sei${\displaystyle {}\theta \in \operatorname {Hom} {\left({\mathcal {L}},\Omega _{X}\right)}}$nicht die Nullabbildung. Dann ist${\displaystyle {}\theta \colon {\mathcal {L}}\rightarrow \Omega _{X}}$injektiv, da beide Garben invertierbar sind. Es liegt somit eine kurze exakte Garbensequenz

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {L}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}/{\mathcal {L}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

vor, wobei die Quotientengarbe${\displaystyle {}\Omega _{X}/{\mathcal {L}}}$ nachLemma 28.1einen diskreten Träger besitzt und ihre erste Kohomologie verschwindet. Es liegt somit die lange exakte Kohomologiesequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {L}}){\stackrel {H^{0}(\theta )}{\longrightarrow }}H^{0}(X,\Omega _{X})\longrightarrow H^{0}(X,\Omega _{X}/{\mathcal {L}}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {L}}){\stackrel {H^{1}(\theta )}{\longrightarrow }}H^{1}(X,\Omega _{X})\longrightarrow 0}$

vor. Daher ist ${\displaystyle {}H^{1}(\theta )}$ surjektiv und wegen${\displaystyle {}H^{1}(X,\Omega _{X})\neq 0}$ist es nicht die Nullabbildung.

Dies folgt unmittelbar ausLemma 30.1.

Der Schnitt führt zu einem injektiven Garbenhomomorphismus${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}\rightarrow {\mathcal {L}}}$und durch Tensorierung zu einem injektiven Homomorphismus${\displaystyle {}{\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {L}}}$.NachLemma 28.1ist

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {M}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {L}})}$

surjektiv und daher ist die duale Abbildung injektiv.

Links steht die zu

${\displaystyle {}K-D\leq K-D'\,}$

gehörende Einbettung der zugehörigen invertierbaren Garben, sieheLemma 20.16.Rechts steht die injektive duale Abbildung zur surjektiven Abbildung

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),}$

die wiederum zur Einbettung

${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}(D')\subseteq {\mathcal {O}}_{X}(D)\,}$

gehört. Es ist

${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}(K-D)\cong \Omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-D)\,.}$

Ein globaler Schnitt in dieser Garbe ist das gleiche wie ein Modulhomomorphismus

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow \Omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-D)}$

was wiederum das gleiche wie ein Homomorphismus

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)\longrightarrow \Omega _{X}}$

ist. Daher folgt die Injektivität der horizontalen Abbildungen ausKorollar 30.2.

Es sei nun eine Linearform${\displaystyle {}\lambda '\in {H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))}^{*}}$gegeben, das einerseits von ${\displaystyle {}\lambda \in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))}$und andererseits von ${\displaystyle {}u'\in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))=\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X}(D'),\Omega _{X}\right)}}$herrührt. Wir müssen${\displaystyle {}u'\in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))}$zeigen. Nehmen wir an, dass das nicht gilt. Dann gibt es einen Punkt${\displaystyle {}P\in X}$derart, dass die Ordnung von ${\displaystyle {}u'}$ in ${\displaystyle {}P}$ echt kleiner als die Ordnung von ${\displaystyle {}K-D}$ in ${\displaystyle {}P}$ ist. Um einen Widerspruch zu erreichen, konstruieren wir eine Kohomologieklasse${\displaystyle {}c'\in H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))}$,die unter ${\displaystyle {}\lambda }$, also unter

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)){\stackrel {\lambda }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} },}$

und unter ${\displaystyle {}H^{1}(u')}$ einen unterschiedlichen Wert hat.

Es sei${\displaystyle {}P\in U}$eine Kreisscheibenumgebung derart, dass auf ${\displaystyle {}U\setminus \{P\}}$ die Divisoren ${\displaystyle {}D,D',K,\operatorname {div} {\left(u'\right)}}$ trivial sind.

Es sei${\displaystyle {}{\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}(D)}$mit einem Divisor ${\displaystyle {}D}$. Es sei ${\displaystyle {}g}$ dasGeschlechtvon ${\displaystyle {}X}$ und es sei ${\displaystyle {}K}$ ein kanonischer Divisor.WegenKorollar 30.2genügt es zu zeigen, dass

${\displaystyle \operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X}(D),\Omega _{X}\right)}\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),{\mathbb {C} }\right)}\cong {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))\right)}^{*},\,\theta \longmapsto \operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(\theta )\right),}$

auchsurjektivist. Es sei dazu

${\displaystyle \lambda \colon H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

eineLinearform${\displaystyle {}\neq 0}$. Es sei${\displaystyle {}P\in X}$ein Punkt, wir betrachten die Divisoren${\displaystyle {}D_{n}=D-nP}$.Es sei zunächst ${\displaystyle {}n}$ fixiert. Ein globaler Schnitt${\displaystyle {}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}}$definiert durch Tensorierung(siehe Lemma 30.3)mit ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}(D_{n})}$ einen Homomorphismus

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{n})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(D_{n})\otimes {\mathcal {O}}_{X}(nP)\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

und damit via

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n})){\stackrel {H^{1}(s)}{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)){\stackrel {\lambda }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }}$

eine Linearform auf ${\displaystyle {}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))}$, die wir mit ${\displaystyle {}s\lambda }$ bezeichnen. Es sei

${\displaystyle {}\Lambda _{n}={\left\{s\lambda \mid s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}\right\}}\subseteq {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}\,.}$

Für${\displaystyle {}s\neq 0}$ist nachLemma 30.3auch${\displaystyle {}s\lambda \neq 0}$und daher ist die Gesamtzuordnung

${\displaystyle \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}\longrightarrow {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}}$

injektiv. Insbesondere haben${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}}$ und ${\displaystyle {}\Lambda _{n}}$die gleiche Dimension. Daher haben wir nachKorollar 28.5die Dimensionsabschätzung

${\displaystyle {}\dim _{\mathbb {C} }{\left(\Lambda _{n}\right)}\geq n+1-g\,.}$

Neben ${\displaystyle {}\Lambda _{n}}$ betrachten wir einen weiteren Untervektorraum von ${\displaystyle {}{\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}}$, nämlich das natürliche Bild

${\displaystyle B_{n}=\operatorname {bild} {\left(H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))\longrightarrow {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}\right)}\,.}$

Dessen Dimension stimmt nachKorollar 30.2mit der Dimension von ${\displaystyle {}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))}$ überein und kann nachLemma 28.6(mit${\displaystyle {}{\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}(K-D)}$und${\displaystyle {}{\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}(nP)}$)durch

${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))\right)}\geq n+c\,}$

für ein von${\displaystyle {}D}$ und ${\displaystyle {}K}$ abhängiges ${\displaystyle {}c}$ abgeschätzt werden. Ferner ist für

${\displaystyle {}n>\operatorname {Grad} \,(D)\,}$

der Grad von ${\displaystyle {}D_{n}}$ negativ und somit besitzt für diese ${\displaystyle {}D_{n}}$ keine globalen Schnitte nachLemma 28.3.NachSatz 28.4ist daher

${\displaystyle {}h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))=g-1-\operatorname {Grad} \,(D_{n})=n+g-1-\operatorname {Grad} \,(D)\,.}$

Die Zahl ${\displaystyle {}n}$ geht also in alle drei relevanten Dimensionen einfach linear ein. Für ${\displaystyle {}n}$ hinreichend groß übertrifft also die Summe der Dimensionen von${\displaystyle {}\Lambda _{n}}$ und von ${\displaystyle {}B_{n}}$die Dimension des umgebenden Raumes. Es sei nun ein solches ${\displaystyle {}n}$ gewählt. NachKorollar 9.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))ist dann

${\displaystyle {}\Lambda _{n}\cap B_{n}\neq \emptyset \,.}$

Ein nichttriviales Element darin hat einerseits eine Darstellung als ${\displaystyle {}s\lambda }$ mit${\displaystyle {}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}}$und andererseits als Bild von einem Element ${\displaystyle {}\omega }$ aus ${\displaystyle {}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))}$. Es gilt also

${\displaystyle {}s\lambda =\omega \,.}$

Wegen ${\displaystyle {}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}}$ist${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(s\right)}\geq -nP}$.Somit ist${\displaystyle {}-nP-\operatorname {div} {\left(s\right)}\leq 0}$und daher ist

${\displaystyle {}D':=D_{n}-\operatorname {div} {\left(s\right)}=D-nP-\operatorname {div} {\left(s\right)}\leq D\,.}$

Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))}^{*}&\\\downarrow &&\downarrow &\\H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))}^{*}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}}$

${\displaystyle {}\lambda }$

${\displaystyle {}\omega \in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))}$ist${\displaystyle {}{\frac {\omega }{s}}\in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}+\operatorname {div} {\left(s\right)}))=H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))}$. Dabei gilt rechts unten die Gleichheit${\displaystyle {}{\frac {\omega }{s}}=\lambda }$. NachLemma 30.4rührt damit ${\displaystyle {}\lambda }$ von oben links her.

Dies folgt ausSatz 30.5,wenn man dort${\displaystyle {}{\mathcal {L}}=\Omega _{X}}$setzt.

Dies folgt ausSatz 30.5mit${\displaystyle {}{\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}}$unter Verwendung von

${\displaystyle {}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X},\Omega _{X}\right)}=H^{0}(X,\Omega _{X})\,.}$