Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 3

Holomorphe Funktionen auf einer riemannschen Fläche

Lemma

Es sei ${}X$ eineriemannschen Flächeund ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

${}f$ istholomorph.
Für jede mit der komplexen Struktur kompatible Karte
$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq {\mathbb {C} }$
ist ${}f\circ \alpha ^{-1}$ holomorph.
${}f$ ist in jedem Punkt durch eine komplexe Potenzreihebeschreibbar.

Beweis

SieheAufgabe 3.1.

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Dabei ist die Potenzreihe auf dem Kartenbild definiert und hängt von der gewählten Karte ab. Die Eigenschaft (2) zeigt, dass man den Atlas durch kompatible Karten auffüllen kann, ohne dabei die holomorphen Funktionen zu verändern. Deshalb nimmt man häufig kompatible Karten hinzu, etwa solche, die zusammenhängend sind oder die homöomorph zu einer Kreisscheibe sind oder hinreichend klein, um gewissen Punkten auszuweichen und Ähnliches.

Korollar

Für eineoffene Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ und eine Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$

bedeutet die Holomorphievon ${}f$ als Funktion derriemannschen Fläche ${}U$ einfach die Holomorphievon ${}f$ .

Beweis

Dies folgt unmittelbar ausLemma 3.2.

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Lemma

Es sei ${}X$ eineriemannsche Fläche. Dann gelten folgende Aussagen.

Konstante Funktionen sindholomorph.
Die Summe von holomorphen Funktionen ist holomorph.
Das Produkt von holomorphen Funktionen ist holomorph.
Zu einer nullstellenfreien holomorphen Funktion ${}f$ ist auch ${}f^{-1}$ holomorph.

Beweis

SieheAufgabe 3.4.

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Die letzte Teilaussage wird zumeist auf holomorphe Funktionen angewendet, die Nullstellen haben, und wo man dann ${}f$ auf die nullstellenfreie offene Teilmenge einschränkt und dort holomorph invertiert.

Viele substantielle Ergebnisse der komplexen Funktionentheorie übertragen sich direkt auf riemannsche Flächen. Gelegentlich braucht man die Bedingung, dass die riemannsche Fläche zusammenhängend ist. Häufig wird eine riemannsche Fläche als zusammenhängend definiert.

Satz

Es sei ${}X$ einezusammenhängende riemannsche Flächeund sei

f\colon X\longrightarrow {\mathbb {C} }

eine von der Nullfunktion verschiedeneholomorphe Funktionauf ${}X$ .

Dann ist die Nullstellenmenge von ${}f$ eine diskrete Teilmengevon ${}X$ .

Beweis

Nehmen wir an, dass die Nullstellenmenge nicht diskret ist. Dann gibt es einen Punkt ${}x\in X$ der Nullstelle derart, dass es in jeder offenen Umgebung von ${}x$ unendliche viele Punkte der Nullstellenmenge gibt. Es sei ${}x\in U$ eine Kartenumgebung und

\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq {\mathbb {C} }

die Kartenabbildung. NachSatz 1.3ist dann ${}f{|}_{U}\circ \alpha ^{-1}$ die Nullfunktion. Wir zeigen, dass dann ${}f$ überhaupt die Nullfunktion ist im Widerspruch zur Voraussetzung. Sei ${}y\in X$ ein weiterer Punkt und sei

\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X

ein stetiger Weg, der ${}x$ mit ${}y$ verbindet. Es seien ${}U_{1}=U,U_{2},\ldots ,U_{n}$ offene zusammenhängende Kartenumgebungen, die das(kompakte)Bild dieses Weges überdecken und die ${}U_{i}\cap U_{i+1}\neq \emptyset$ erfüllen. Dann ist, wie eben bemerkt, ${}f{|}_{U_{1}}=0$ .Da die holomorphe Funktion ${}f{|}_{U_{2}}\circ \alpha _{2}^{-1}$ auf ${}V_{2}$ holomorph ist, und auf ${}\alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$ die Nullfunktion ist, folgt, wieder mitSatz 1.3,dass ${}f{|}_{U_{2}}\circ \alpha _{2}^{-1}$ und damit auch ${}f{|}_{U_{2}}$ die Nullfunktion ist. Induktiv fortfahrend ergibt sich, dass ${}f{|}_{U_{i}}$ für alle ${}i$ die Nullfunktion ist und dass insbesondere ${}f(y)=0$ ist.

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Satz

Es sei ${}X$ einezusammenhängende riemannsche Flächeund seien

f,g\colon X\longrightarrow {\mathbb {C} }

holomorphe Funktionenauf ${}X$ . Es gebe eine Folge ${}x_{n}\in X$ mit einemHäufungspunkt(der kein Folgenglied sei)derart, dass

{}f(x_{n})=g(x_{n})\,

für ${}n\in \mathbb {N}$ ist.

Dann ist ${}f=g$ .

Beweis

Wir betrachten die Differenz ${}h=f-g$ ,die nachLemma 3.4wieder holomorph ist. Es ist dann

{}h(x_{n})=0\,

und da die Folgenglieder ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ einen Häufungspunkt besitzen, handelt es sich um eine nichtdiskrete Menge. NachSatz 3.5ist ${}h=0$ und damit ${}f=g$ .

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Satz

Es sei ${}X$ einekompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann gibt es auf ${}X$ nur die konstantenholomorphen Funktionen.

Beweis

NachSatz Anhang 2.9ist das Bild von ${}X$ unter der stetigen Abbildung ${}\vert {f}\vert$ wieder kompakt. Nachdem Satz von Heine-Borelist somit das Bild von ${}\vert {f}\vert$ abgeschlossen und beschränkt. Das bedeutet insbesondere, dass das Maximum von ${}\vert {f}\vert$ unter der Funktion angenommen wird. Es gibt also ein ${}P\in X$ mit ${}\vert {f(P)}\vert \geq \vert {f(Q)}\vert$ für alle Punkte ${}Q\in X$ .Es sei ${}P\in U\subseteq X$ ein zusammenhängendes Kartengebiet. Ausdem Maximumsprinzip,angewendet auf ${}f\circ \alpha ^{-1}$ folgt, dass ${}f{|}_{U}$ konstant ist. Also ist ${}f$ nachSatz 3.5überhaupt konstant.

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Definition

Zu einerriemannschen Fläche ${}X$ bezeichnet man den Ring der holomorphen Funktionenauf ${}X$ mit

\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})

und spricht von der (globalen Auswertung der)Strukturgarbe auf ${}X$ .

Es ist also

{}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})={\left\{f:X\longrightarrow {\mathbb {C} }\mid f{\text{ holomorph}}\right\}}\,.

Zu jeder offenen Telmenge ${}U\subseteq X$ ist ${}U$ wieder eine riemannsche Fläche und somit ist auch

{}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})\,

definiert. Man spricht von der Auswertung der Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ auf ${}U$ . Wir werden später das abstrakte Garbenkonzept kennenlernen. Die wichtigsten Eigenschaften werden in der folgenden Aussage zusammengefasst.

Lemma

Es sei ${}X$ eineriemannsche Fläche. Dann gelten folgende Aussagen.

Zu offenen Mengen ${}V\subseteq U$ von ${}X$ und einerholomorphen Funktion
$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
ist die Einschränkung ${}f{|}_{V}$ eine holomorphe Funktion auf ${}V$ .
Zu offenen Mengen ${}V\subseteq U$ ist die Einschränkungsabbildung
$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{X}),\,f\longmapsto f{|}_{V},$
ein ${}{\mathbb {C} }$ -Algebrahomomorphismus.
Zu offenen Mengen ${}V\subseteq U$ mit ${}U$ zusammenhängendund ${}V\neq \emptyset$ ist die Einschränkungsabbildung
$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{X}),\,f\longmapsto f{|}_{V}$
injektiv.
Es sei ${}U$ eine offene Menge und ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckungund seien holomorphe Funktionen ${}f,g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ mit
${}f{|}_{U_{i}}=g{|}_{U_{i}}\,$
für alle ${}i$ gegeben. Dann ist ${}f=g$ .
Es sei ${}U$ eine offene Menge und ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckungund seien holomorphe Funktionen ${}f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ mit
${}f_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=f_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,$
für alle ${}i,j$ gegeben. Dann gibt es eine holomorphe Funktion ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ mit
${}f{|}_{U_{i}}=f_{i}\,$
alle ${}i$ .

Beweis

ist klar aufgrund der lokalen Definition von holomorph.
ist klar, da die algebraischen Operationen punktweise definiert sind.
folgt ausSatz 3.5.
ist klar, da die Gleichheit von Funktionen punktweise definiert ist.
Zunächst ergibt sich durch punktweise Festlegung direkt eine Funktion ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ ,die auf die vorgegebenen Funktionen einschränkt. Diese ist holomorph, da die Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist.

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Holomorphe Abbildungen

Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ riemannsche Flächenund sei

\varphi \colon X\longrightarrow Y

einestetige Abbildung.Man nennt ${}\varphi$ holomorph,wenn für jede offene Teilmenge ${}V\subseteq Y$ und jede holomorphe Funktion ${}f\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})$ die zusammengesetzte Funktion ${}f\circ \varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V)}$ holomorph ist.

Gemäß der Definition muss man also für jede offene Menge ${}V\subseteq Y$ und jede holomorphe Funktion ${}f\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }$ die Hintereinanderschaltung

\varphi ^{-1}(V){\stackrel {\varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V)}}{\longrightarrow }}V{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }

betrachten und als holomorph auf ${}\varphi ^{-1}(V)\subseteq X$ nachweisen.

Lemma

Es seien ${}X$ und ${}Y$ riemannsche Flächenund sei

\varphi \colon X\longrightarrow Y

einestetige Abbildung. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

${}\varphi$ ist holomorph.
Für jedes Kartengebiet ${}V\subseteq Y$ und für jedeholomorphe Funktion ${}f\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})$ ist ${}f\circ \varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V)}$ holomorph.
Es gibt eineoffene Überdeckung ${}Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ mit Kartengebieten ${}V_{i}\subseteq Y$ derart, dass für jedeholomorphe Funktion ${}f_{i}\in \Gamma (V_{i},{\mathcal {O}}_{Y})$ auch ${}f_{i}\circ \varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V_{i})}$ holomorph ist.
Für beliebige Kartengebiete ${}V\subseteq Y$ und
${}U\subseteq \varphi ^{-1}(V)\subseteq X\,$
mit Kartenabbildungen ${}\beta \colon V\rightarrow \beta (V)\subseteq {\mathbb {C} }$ und ${}\alpha \colon U\rightarrow \alpha (U)\subseteq {\mathbb {C} }$ ist
$\beta \circ \varphi {|}_{U}\circ \alpha ^{-1}\colon \alpha (U)\longrightarrow \beta (V)$
holomorph.
Es gibt eine offene Überdeckung ${}Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ mit Kartengebieten ${}V_{i}$ und offene Überdeckungen ${}\varphi ^{-1}(V_{i})=\bigcup _{j\in J_{i}}U_{j}$ mit Kartengebieten ${}U_{j}$ von ${}X$ derart, dass die Hintereinanderschaltungen
$\beta _{i}\circ \varphi {|}_{U_{j}}\circ \alpha _{j}^{-1}\colon \alpha (U_{j})\longrightarrow \beta (V_{i})$
holomorph sind.

Beweis

Von (1) nach (2) und von (2) nach (3) sind Einschränkungen. Es sei (3) erfüllt. Es sei ${}V\subseteq Y$ eine offene Teilmenge und ${}f\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})$ eine holomorphe Funktion. Die Durchschnitte ${}V\cap V_{i}$ , ${}i\in I$ ,bilden dann eine offene Überdeckung von ${}V$ . Nach (3) sind dann die

{}f{|}_{V\cap V_{i}}\circ \varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V\cap V_{i})}={\left(f\circ {\left(\varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V)}\right)}\right)}{|}_{\varphi ^{-1}(V\cap V_{i})}\,

holomorph. Da die Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist, ist ${}f\circ {\left(\varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V)}\right)}$ selbst holomorph.

Von (2) nach (4) und von (4) nach (5) ist klar. Es sei also (5) erfüllt, wir werden (3) zeigen. Ohne Einschränkung können wir ${}I=\{i\}$ ,

{}V_{i}=Y\subseteq {\mathbb {C} }\,

offen und

{}X=\bigcup _{j\in J}U_{j}\,

mit Kartengebieten ${}U_{j}$ annehmen. Es sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf ${}Y$ . Es ist die Holomorphie von

f\circ \varphi {|}_{U_{j}}\colon U_{j}\longrightarrow Y\subseteq {\mathbb {C} }

für jedes ${}U_{j}$ nachzuweisen. Somit ist zu zeigen, dass

f\circ \varphi {|}_{U_{j}}\circ \alpha _{j}^{-1}\colon \alpha _{j}(U_{j})\longrightarrow Y\subseteq {\mathbb {C} }

holomorph ist. Nach Voraussetzung (5) ist ${}\varphi {|}_{U_{j}}\circ \alpha _{j}^{-1}$ holomorph und somit ist auch diese Hintereinanderschaltung mit ${}f$ holomorph.

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Die Situation inLemma 3.11 (4)kann man sich durch das kommutative Diagramm

{\begin{matrix}U&{\stackrel {\varphi {|}_{U}}{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!\alpha \downarrow &&\downarrow \beta \!\!\!\!\!&\\\alpha (V)&{\stackrel {\beta \circ \varphi {|}_{U}\circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}&\beta (V)&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

veranschaulichen, wobei sich die untere Zeile allein in ${}{\mathbb {C} }$ abspielt.

Lemma

Es sei ${}X$ eineriemannsche Fläche.

Dann ist eine holomorphe Funktionauf ${}X$ und eineholomorphe Abbildungvon ${}X$ nach ${}{\mathbb {C} }$ dasselbe.

Beweis

Dies folgt ausLemma 3.2undLemma 3.11.

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Lemma

Die Identität ${}X\rightarrow X$ auf einer riemannschen Flächeist eineholomorphe Abbildung.
Zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ einer riemannschen Fläche ${}X$ ist die Inklusion
$U\longrightarrow X$
eine holomorphe Abbildung.
Es seien ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und ${}\psi \colon Y\rightarrow Z$ holomorphe Abbildungen zwischen riemannschen Flächen ${}X,Y,Z$ . Dann ist auch die Hintereinanderschaltung
$\psi \circ \varphi \colon X\longrightarrow Z$
holomorph.

Beweis

SieheAufgabe 3.10.

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Eine direkte Verallgemeinerung vonLemma 3.9ist die folgende Aussage.

Lemma

Es seien ${}X$ und ${}Y$ riemannsche Flächenund sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Dann gelten folgende Aussagen.

Holomorphe Abbildungen
$\varphi ,\psi \colon X\longrightarrow Y$
stimmen genau dann überein, wenn die Einschränkungen ${}\varphi {|}_{U_{i}}$ und ${}\psi {|}_{U_{i}}$ für alle ${}i$ übereinstimmen.
Es seien holomorphe Abbildungen ${}\varphi _{i}\colon U_{i}\rightarrow Y$ gegeben, die ${}\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=\varphi _{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$ für alle ${}i,j$ erfüllen. Dann gibt es eine holomorphe Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ mit
${}\varphi {|}_{U_{i}}=\varphi _{i}\,$
für alle ${}i$ .

Beweis

SieheAufgabe 3.12.

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Satz

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstanteholomorphe Abbildungzwischenzusammenhängenden riemannschen Flächen.

Dann ist ${}\varphi$ offen.

Beweis

Dies folgt ausdem Offenheitssatzfür holomorphe Funktionen.

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Satz

Es seien ${}X$ und ${}Y$ riemannsche Flächenund sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ einebijektive holomorphe Abbildung.

Dann ist auch dieUmkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}\colon Y\rightarrow X$ holomorph.

Beweis

WegenSatz 3.15ist auch die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ stetig. Die Holomorphe der Umkehrabbildung folgt mitLemma 3.11 (5)aus der lokalen VersionSatz 2.3.

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Definition

Zwei riemannsche Flächen ${}X$ und ${}Y$ heißenbiholomorph, wenn es holomorphe Abbildungen ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und ${}\psi \colon Y\rightarrow X$ gibt mit ${}\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{X}$ und ${}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{Y}$ .

Statt biholomorph sagt man häufig auch einfach isomorph. Satz 3.16besagt, dass eine bijektive holomorphe Abbildung automatisch biholomorph ist. Biholomorphe riemannsche Flächen sind insbesonderehomöomorphund als reelle Mannigfaltigkeitendiffeomorph.Die Umkehrung gilt dabei nicht, wie das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel

Die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ und die offene Kreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$ sind nicht biholomorph,da jedeholomorphe Funktion ${}{\mathbb {C} }\rightarrow U{\left(0,1\right)}$ nachSatz 1.7konstant ist.

Lemma

Es sei ${}f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein nichtkonstantes Polynomvom Grad ${}k$ .

Dann definiert ${}f$ eineholomorphe Abbildung ${}{\tilde {f}}\colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ,die auf

${}{\mathbb {C} }={\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\setminus \{\infty \}=S^{2}\setminus \{N\}\,$

mit ${}f$ übereinstimmt, die ${}\infty$ auf ${}\infty$ abbildet und die lokal in einer offenen Umgebung von ${}\infty$ eine ${}k$ -te Potenzierung ist.

Beweis

Wir setzen ${}w=z^{-1}$ , ${}Z={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid f(z)=0\right\}}$ für die endliche Nullstellenmenge von ${}f$ und ${}Z'={\left\{z^{-1}\in {\mathbb {C} }\mid f(z)=0,\,z\neq 0\right\}}$ für das Bild davon unter der Invertierungsabbildung. Auf ${}{\mathbb {C} }^{\times }\setminus Z$ kommutiert das Diagramm( ${}{\tilde {f}}$ gibt es noch nicht)

{\begin{matrix}{\mathbb {C} }^{\times }\setminus Z\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }\subseteq {\mathbb {C} }&&&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&&&{\mathbb {C} }\supseteq {\mathbb {C} }^{\times }\\&\searrow &&&&\swarrow &\\\!\!\!\!\!z\mapsto z^{-1}\downarrow &&{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}&{\stackrel {\tilde {f}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}&&\,\,\,\,\downarrow u\mapsto u^{-1}\\&\nearrow &&&&\nwarrow &\\{\mathbb {C} }^{\times }\setminus Z'\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }\subseteq {\mathbb {C} }&&&{\stackrel {\frac {1}{f(w^{-1})}}{\longrightarrow }}&&&{\mathbb {C} }\supseteq {\mathbb {C} }^{\times }\!\!\!\!\!\end{matrix}}

auf ${}{\mathbb {C} }^{\times }\setminus Z$ . Auf ${}{\mathbb {C} }^{\times }\setminus Z'$ ist

{}{\begin{aligned}{\frac {1}{f(w^{-1})}}&={\frac {w^{k}}{w^{k}f(w^{-1})}}\\&={\frac {w^{k}}{w^{k}{\left(\sum _{n=0}^{k}c_{n}w^{-n}\right)}}}\\&={\frac {w^{k}}{\sum _{n=0}^{k}c_{n}w^{k-n}}}\\&={\frac {w^{k}}{\sum _{j=0}^{k}c_{k-j}w^{j}}}.\end{aligned}}

Wegen ${}c_{k}\neq 0$ ist das Nennerpolynom im Nullpunkt(für ${}w$ )invertierbar, es sei ${}g(w)$ die inverse holomorphe Funktion dazu, also

{}{\frac {1}{f(w^{-1})}}=w^{k}g(w)\,.

Diese Funktion kann man in den Nullpunkt(von ${}{\mathbb {C} }$ unten links, also ${}\infty$ von ${}{\mathbb {C} }$ oben links)fortsetzen mit dem Wert ${}0$ , sie ist also auf einer offenen Umgebung von ${}0$ definiert und stimmt auf dem Übergang mit ${}f$ überein. Daher wird nachLemma 3.14eine Funktion ${}{\tilde {f}}$ auf ganz ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ festgelegt. Wegen

{}g(w)\neq 0\,

ist die lokale Gestalt ${}w^{k}$ .

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Die vorstehende Aussage werden wir inSatz 18.6wesentlich verallgemeinern.

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