Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 3

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannschen Flächeund${\displaystyle {}f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }}$eine Funktion. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}f}$ istholomorph.
2. Für jede mit der komplexen Struktur kompatible Karte

   ${\displaystyle \alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq {\mathbb {C} }}$

   ist ${\displaystyle {}f\circ \alpha ^{-1}}$ holomorph.

3. ${\displaystyle {}f}$ ist in jedem Punkt durch eine komplexe Potenzreihebeschreibbar.

Es sei${\displaystyle {}f\in {\mathbb {C} }[Z]}$ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei${\displaystyle {}V={\left\{(z,w)\in {\mathbb {C} }^{2}\mid w^{2}=f(z)\right\}}}$die zugehörige Wurzelfläche im Sinne vonKorollar 2.8.Zeige, dass die beiden Projektionen nach ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ holomorphe Funktionenauf ${\displaystyle {}V}$ sind.

Es sei${\displaystyle {}S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$die Sphäre mit ihrer natürlichen Realisierung im Raum und versehen mit der Struktur einer riemannschen Flächeim Sinne vonBeispiel 2.6.Zeige, dass die Projektion auf eine Ebene${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} }}$keineholomorphe Funktionist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche.Zeige, dass folgende Aussagen gelten.

1. Konstante Funktionen sindholomorph.
2. Die Summe von holomorphen Funktionen ist holomorph.
3. Das Produkt von holomorphen Funktionen ist holomorph.
4. Zu einer nullstellenfreien holomorphen Funktion ${\displaystyle {}f}$ ist auch ${\displaystyle {}f^{-1}}$ holomorph.

FormuliereSatz 2.1für eineholomorphe Funktionauf einer riemannschen Fläche.

Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne vonSatz 2.1(bzw.Aufgabe 3.5)für die Projektion

${\displaystyle V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto z,}$

zu einer Wurzelfläche im Sinne vonKorollar 2.8.

Es seien${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$topologische Räumeund es sei

${\displaystyle p\colon Y\longrightarrow X}$

einestetige Abbildung.Unter einemstetigen Schnitt zu ${\displaystyle {}p}$ versteht man eine stetige Abbildung${\displaystyle {}s\colon X\rightarrow Y}$mit

${\displaystyle {}p\circ s=\operatorname {Id} _{X}\,.}$

Es sei${\displaystyle {}f\in {\mathbb {C} }[Z]}$ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei${\displaystyle {}V={\left\{(z,w)\in {\mathbb {C} }^{2}\mid w^{2}=f(z)\right\}}}$die zugehörige Wurzelfläche im Sinne vonKorollar 2.8.Zeige, dass es zur ersten Projektion

${\displaystyle V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto z,}$

zu einem Punkt${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }}$mit${\displaystyle {}f(P)\neq 0}$auf einer geeigneten offenen Umgebung${\displaystyle {}P\in U\subseteq {\mathbb {C} }}$einenstetigen Schnitt${\displaystyle {}s\colon U\rightarrow V}$gibt, und dass es bei${\displaystyle {}f(P)=0}$einen solchen Schnitt nicht geben kann.

Es sei${\displaystyle {}f\in {\mathbb {C} }[Z]}$ein nichtkonstantes Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei${\displaystyle {}V={\left\{(z,w)\in {\mathbb {C} }^{2}\mid w^{2}=f(z)\right\}}}$die zugehörige Wurzelfläche im Sinne vonKorollar 2.8.Zeige, dass ${\displaystyle {}V}$ zusammenhängendist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einezusammenhängenderiemannsche Flächeund${\displaystyle {}f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }}$eine nichtkonstanteholomorphe Funktion.Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ offenist.

Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Identität${\displaystyle {}X\rightarrow X}$auf einer riemannschen Flächeist eineholomorphe Abbildung.
2. Zu einer offenen Menge${\displaystyle {}U\subseteq X}$einer riemannschen Fläche ${\displaystyle {}X}$ ist die Inklusion

   Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle U \longrightarrow X }

   eine holomorphe Abbildung.

3. Es seien${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$und${\displaystyle {}\psi \colon Y\rightarrow Z}$holomorphe Abbildungen zwischen riemannschen Flächen ${\displaystyle {}X,Y,Z}$. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

   ${\displaystyle \psi \circ \varphi \colon X\longrightarrow Z}$

   holomorph.

Es seien${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$zusammenhängenderiemannsche Flächenund sei${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$eine nichtkonstante holomorphe Abbildung.Es sei ${\displaystyle {}X}$ kompakt.Zeige, dass dann ${\displaystyle {}\varphi }$ surjektiv ist und dass ${\displaystyle {}Y}$ ebenfalls kompakt ist.

Es seien${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$riemannsche Flächenund sei ${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$eine offene Überdeckung.Zeige die folgenden Aussagen.

1. Holomorphe Abbildungen

   ${\displaystyle \varphi ,\psi \colon X\longrightarrow Y}$

   stimmen genau dann überein, wenn die Einschränkungen${\displaystyle {}\varphi {|}_{U_{i}}}$ und ${\displaystyle {}\psi {|}_{U_{i}}}$für alle ${\displaystyle {}i}$ übereinstimmen.

2. Es seien holomorphe Abbildungen${\displaystyle {}\varphi _{i}\colon U_{i}\rightarrow Y}$gegeben, die${\displaystyle {}\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=\varphi _{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}}$für alle ${\displaystyle {}i,j}$ erfüllen. Dann gibt es eine holomorphe Abbildung${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$mit

   ${\displaystyle {}\varphi {|}_{U_{i}}=\varphi _{i}\,}$

   für alle ${\displaystyle {}i}$.

Es seien${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$riemannsche Flächenund sei${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$eine holomorphe Abbildung.Zeige, dass dies einen${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle \Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),\,f\longmapsto f\circ \varphi ,}$

induziert. Zeige ferner, dass für offene Teilmengen${\displaystyle {}V\subseteq V'\subseteq Y}$ein kommutatives Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}\Gamma (V',{\mathcal {O}}_{Y})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (\varphi ^{-1}(V'),{\mathcal {O}}_{X})&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

vorliegt, wobei die vertikalen Abbildungen Einschränkungshomomorphismen sind.

Zeige, dass das identische Polynom${\displaystyle {}f(z)=z}$im Sinne vonLemma 3.19zur Identität auf ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$ führt.

Zeige, dass für eine Potenzierung${\displaystyle {}f(z)=z^{k}}$die zugehörige holomorphe Fortsetzung im Sinne vonLemma 3.19auf der zweiten Karte ebenfalls die ${\displaystyle {}k}$-te Potenzierung ist.

Illustriere die Abbildung${\displaystyle {}f(z)=z^{2}}$als Abbildung im Sinne vonLemma 3.19von der Sphäre ${\displaystyle {}S^{2}}$ in die Sphäre.

Beweiseden Fundamentalsatz der Algebramit Hilfe vonLemma 3.19undAufgabe 3.11.