Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 4

Für eineholomorphe Kurve

${\displaystyle \gamma \colon B\longrightarrow M}$

mit${\displaystyle {}0\in B}$und${\displaystyle {}\gamma (0)=P}$und eine Karte

${\displaystyle \alpha \colon U\longrightarrow V}$

(mit${\displaystyle {}P\in U}$und${\displaystyle {}V\subseteq {\mathbb {C} }^{n}}$)ändert sich der Ausdruck

${\displaystyle {\left(\alpha \circ {\left(\gamma {|}_{\gamma ^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)}$

nicht, wenn man zu einem kleineren offenen Ball${\displaystyle {}0\in B'\subseteq B}$ und einer kleineren offenen Menge${\displaystyle {}P\in U'\subseteq U}$(mit der induzierten Karte)übergeht. Wir können also davon ausgehen, dass${\displaystyle {}\gamma _{1}}$ und ${\displaystyle {}\gamma _{2}}$auf dem gleichen offenen Ball definiert sind und ihre Bilder in ${\displaystyle {}U}$ liegen, und dass es für dieses ${\displaystyle {}U}$ zwei Karten

${\displaystyle \alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}}$

und

${\displaystyle \alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}}$

gibt. Dann folgt aus

${\displaystyle {}(\alpha _{1}\circ \gamma _{1})'(0)=(\alpha _{1}\circ \gamma _{2})'(0)\,}$

nachder Kettenregelunter Verwendung der komplexen Differenzierbarkeit derÜbergangsabbildung${\displaystyle {}\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}}$ sofort

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\alpha _{2}\circ \gamma _{1}\right)}'(0)&={\left({\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)}\circ {\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{1}\right)}\right)}'(0)\\&={\left(D\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left({\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{1}\right)}'(0)\right)}\\&={\left(D\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left({\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{2}\right)}'(0)\right)}\\&={\left(\alpha _{2}\circ \gamma _{2}\right)}'(0).\end{aligned}}}$

Die Reflexiviät und die Symmetrie der Relation sind unmittelbar klar. Zum Nachweis der Transitivität seien dreiholomorphe Kurven

${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\colon B\longrightarrow M}$

gegeben, wobei wir sofort annehmen dürfen, dass sie auf dem gleichen offenen Ball${\displaystyle {}0\in B\subseteq {\mathbb {C} }}$definiert sind. Es seien${\displaystyle {}P\in U_{1},U_{2}}$offene Mengen, mit denen man die tangentiale Gleichheit von${\displaystyle {}\gamma _{1}}$ und ${\displaystyle {}\gamma _{2}}$bzw. von${\displaystyle {}\gamma _{2}}$ und ${\displaystyle {}\gamma _{3}}$nachweisen kann. Dann kann man nachLemma 4.8mit${\displaystyle {}U=U_{1}\cap U_{2}}$die tangentiale Gleichheit von${\displaystyle {}\gamma _{1}}$ und ${\displaystyle {}\gamma _{3}}$nachweisen.

(1). Die Wohldefiniertheit der Abbildung ist wegenLemma 4.8klar. Die Injektivitätfolgt unmittelbar aus derDefinition 4.7.Zur Surjektivitätsei${\displaystyle {}v\in {\mathbb {C} }^{n}}$.Wir betrachten dieaffin-lineare Kurve

${\displaystyle \theta \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n},\,z\longmapsto \theta (z)=\alpha (P)+zv,}$

dessenAbleitungin ${\displaystyle {}0}$ gerade ${\displaystyle {}v}$ ist. Wir schränken diese Kurve auf einen Ball${\displaystyle {}0\in B\subseteq {\mathbb {C} }}$derart ein, dass${\displaystyle {}\theta (B)\subseteq V}$ist und betrachten

${\displaystyle \gamma =\alpha ^{-1}\circ \theta \colon B\longrightarrow M.}$

Für diese Kurve gilt

${\displaystyle {}\gamma (0)={\left(\alpha ^{-1}\circ \theta \right)}(0)=\alpha ^{-1}(\theta (0))=\alpha ^{-1}(\alpha (P))=P\,}$

und

${\displaystyle {}{\left(\alpha \circ \gamma \right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\alpha ^{-1}\circ \theta \right)}\right)}'(0)=\theta '(0)=v\,.}$

(2). Durch Übergang zu kleineren offenen Mengen können wir annehmen, dass zwei Karten

${\displaystyle \alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}}$

und

${\displaystyle \alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}}$

vorliegen. DieÜbergangsabbildung

${\displaystyle \alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}}$

istbiholomorphund für ihrtotales Differentialin ${\displaystyle {}\alpha _{1}(P)}$ gilt nachder Kettenregeldie Beziehung

${\displaystyle {}{\left(D(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1})\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left((\alpha _{1}\circ \gamma )'(0)\right)}=(\alpha _{2}\circ \gamma )'(0)\,.}$

Das bedeutet, dass das Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}T_{P}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{n}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&{\mathbb {C} }^{n}&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}}$

wobei vertikal das totale Differential zu ${\displaystyle {}\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}}$ steht, kommutiert. Da das totale Differential eine lineare Abbildungist, die in der gegebenen Situation bijektiv ist, macht es keinen Unterschied, ob man die Addition und die Skalarmultiplikation auf ${\displaystyle {}T_{P}M}$ unter Bezug auf die obere oder die untere horizontale Abbildung definiert.

Wir schreiben ${\displaystyle {}T_{P}^{\mathbb {C} }M}$ und ${\displaystyle {}T_{P}^{\mathbb {R} }M}$ für den komplexen bzw. den reellen Tangentialraum. Dabei ist ${\displaystyle {}T_{P}^{\mathbb {C} }M}$ ein komplexer Vektorraum der komplexen Dimension ${\displaystyle {}n}$, wobei ${\displaystyle {}n}$ die komplexe Dimension der komplexen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {}M}$ ist. Damit ist ${\displaystyle {}T_{P}^{\mathbb {C} }M}$ insbesondere ein reeller Vektorraum der reellen Dimension ${\displaystyle {}2n}$. Da ${\displaystyle {}M}$ als reelle differenzierbare Mannigfaltigkeit die Dimension ${\displaystyle {}2n}$ besitzt, hat auch ${\displaystyle {}T_{P}^{\mathbb {R} }M}$ die reelle Dimension ${\displaystyle {}2n}$. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle T_{P}^{\mathbb {C} }M\longrightarrow T_{P}^{\mathbb {R} }M,\,[\gamma ]\longmapsto [\gamma {|}_{\mathbb {R} }],}$

die einem holomorphen Tangentialvektor,der durch eineholomorphe Kurve${\displaystyle {}\gamma \colon B\rightarrow M}$mit${\displaystyle {}0\in B\subseteq {\mathbb {C} }}$und${\displaystyle {}\gamma (0)=P}$repräsentiert wird, den reellen Tangentialvektorzuordnet, der durch den reellen differenzierbaren Weg ${\displaystyle {}\gamma {|}_{B\cap \mathbb {R} }}$ repräsentiert wird. Diese Abbildung ist wohldefiniert und${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-linear.Zum Nachweis der Bijektivität betrachten wir zu einer Karte${\displaystyle {}\alpha \colon U\rightarrow V\subseteq {\mathbb {C} }^{n}\cong \mathbb {R} ^{2n}}$das Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}T_{P}^{\mathbb {C} }M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{n}&\\\downarrow &&\downarrow &\\T_{P}^{\mathbb {R} }M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{2n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

wobei die horizontalen Abbildungen die Bijektionen ausLemma 4.5bzw.Lemma 4.11sind. Wegen

${\displaystyle {}(\alpha \circ \gamma )'(0)=(\alpha \circ \gamma {|}_{\mathbb {R} })'(0)\,}$

ist das Diagramm kommutativ, daher ist die linke vertikale Abbildung ein reeller Isomorphismus.

Dies beruht im Wesentlichen darauf, dass zu einer bijektiven${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-linearen Abbildungauf einem endlichdimensionalen komplexen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ die zugrunde liegende reell-lineare Abbildung nachAufgabe 4.7eine positive Determinantebesitzt.