Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 16

Reell-differenzierbare Funktionen

Es seien${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$komplexe Mannigfaltigkeiten.Neben den holomorphen Abbildungenvon ${\displaystyle {}M}$ nach ${\displaystyle {}N}$ sind auch reell-differenzierbare Abbildungen wichtig, wobei man sich zumeist auf ${\displaystyle {}C^{\infty }}$-Abbildungen beschränkt. Besonders wichtig ist der Fall${\displaystyle {}N={\mathbb {C} }}$,dann geht es um die komplexwertigen reell-differenzierbaren Funktionen. Zwar interessiert man sich im Kontext von komplexen Mannigfaltigkeiten in erster Linie für holomorphe Abbildungen, doch treten differenzierbare Funktionen(und differenzierbare Differentialformen)als wichtiges Hilfsmittel auf. Wichtige Aspekte sind.

1. Charakterisierung von holomorphen Abbildungen unter den differenzierbaren Abbildungen(sieheSatz 1.8,Satz 16.14).
2. Approximationsprozesse durch differenzierbare Abbildungen.
3. Höhere Flexibilität der differenzierbaren Funktionen(platte Funktionen, Partition der Eins).
4. Engere Beziehung zur Topologie, Homologiegruppen, Fundamentalgruppe, Integrale über stetige Wege.
5. Maßtheoretische Aspekte, Flächeninhalte.
6. Garbentheoretische Auflösung(sieheSatz 16.14,Satz 16.15), Kohomologieberechnung(sieheSatz 25.5,Korollar 25.6).

Da die Übergangsabbildungen bei einem Kartenwechsel biholomorph sind, sind diese auch ${\displaystyle {}C^{\infty }}$-diffeomorph und daher ist die unendliche Differenzierbarkeit von reellwertigen und komplexwertigen Funktionen wohldefiniert.

Lemma

Es sei ${\displaystyle {}M}$ einekomplexe Mannigfaltigkeit. Dann gelten die folgenden Aussagen.

1. Die Zuordnung ${\displaystyle {}U\mapsto {\mathcal {E}}{\left(U\right)}}$ zu${\displaystyle {}U\subseteq M}$offen ist eineGarbevon kommutativen Ringenauf ${\displaystyle {}M}$.
2. DieStrukturgarbe${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{M}}$ ist eine Untergarbevon ${\displaystyle {}{\mathcal {E}}}$.

Beweis

SieheAufgabe 16.1.

${\displaystyle \Box }$

Der Tangentialraum ${\displaystyle {}T_{P}M}$ einer komplexen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {}M}$ in einem Punkt${\displaystyle {}P\in M}$ist einfach der reelle Tangentialraum der zugrundeliegenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit, allerdings mit einer komplexen Vektorraumstruktur, die unmittelbar von der komplexen Mannigfaltigkeitsstruktur herrührt, sieheLemma 4.13.Die Tangentialabbildung zu einer holomorphen Abbildung${\displaystyle {}\varphi \colon M\rightarrow N}$führt nachLemma 5.1und insbesondereLemma 5.3  (3)zu einer${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-linearen Abbildung

${\displaystyle T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N.}$

Eine differenzierbare Abbildung${\displaystyle {}\varphi \colon M\rightarrow N}$führt zu einer ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-linearen Abbildung

${\displaystyle T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N.}$

Diese Abbildung respektiert nur die reelle, aber nicht die komplexe Struktur auf den beiden komplexen Vektorräumen. NachLemma Anhang 1.2besitzt aber jede reelle lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen eine eindeutige Summenzerlegung in eine ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-lineare und eine${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-antilineareAbbildung.

Lemma  

Es sei${\displaystyle {}\varphi \colon M\rightarrow N}$eine(reell)differenzierbare Abbildungzwischen den komplexen Mannigfaltigkeiten${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$.

Dann besitzt dieTangentialabbildung

${\displaystyle T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N}$

eine eindeutige Zerlegung

${\displaystyle {}T_{P}(\varphi )=\psi +\theta \,,}$

wobei ${\displaystyle {}\psi }$ ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-linearund${\displaystyle {}\theta }$ ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-antilinearist.

Beweis  

Dies folgt direkt ausLemma 77.10 (Analysis (Osnabrück 2014-2016))  (3)undLemma Anhang 1.2.

${\displaystyle \Box }$

Wir schreiben

${\displaystyle {}T_{P}(\varphi )=T_{P}^{h}(\varphi )+T_{P}^{a}(\varphi )\,}$

und nennen ${\displaystyle {}T_{P}^{h}(\varphi )}$ die holomorphe Tangentialabbildung und ${\displaystyle {}T_{P}^{a}(\varphi )}$ die antiholomorphe Tangentialabbildung. Es ist keineswegs so, dass eine differenzierbare Abbildung(sagen wir nach ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$)eine Zerlegung in eine holomorphe und eine antiholomorphe Funktion besitzt, dies gilt nur auf der Ebene der Linearisierungen.

Wir wollen diese Zerlegung auf reell-differenzierbare Funktionen von ${\displaystyle {}M}$ nach ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ genauer studieren. Eine reell-differenzierbare Funktion${\displaystyle {}f\colon M\rightarrow {\mathbb {C} }}$auf einer komplexen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {}M}$ definiert für jeden Punkt${\displaystyle {}P\in M}$eine ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-lineare Abbildung

${\displaystyle d_{P}f\colon T_{P}M\longrightarrow T_{f(P)}{\mathbb {C} }\cong {\mathbb {C} }.}$

Diese Abbildung ist weder ein Element des komplexen Kotangentialraumes, da sie nicht ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-linear ist, noch ein Element des reellen Kotangentialraumes, da die Zielmenge ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ und nicht ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ ist. Es gibt aber eine kanonische Zerlegung

${\displaystyle {}d_{P}f=d_{P}^{h}f+d_{P}^{a}f\,}$

in eine${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Linearform${\displaystyle {}d_{P}^{h}f}$ (die ein Element des komplexen Kotangentialraumes ist)und eine ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-antilineare Form ${\displaystyle {}d_{P}^{a}f}$. Diese Zerlegung erfasst man mit der folgenden Definition.

Es ist also

${\displaystyle {}\operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}=\operatorname {Hom} _{\mathbb {C} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{\overline {\mathbb {C} }}{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}=T_{P}^{*}M\oplus {\overline {T}}_{P}^{*}M\,.}$

Differenzierbare Differentialformen

Wir setzen

${\displaystyle {}E^{(1)}=\biguplus _{P\in M}\operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}\,,}$

dies ist ein reelles Vektorbündel über ${\displaystyle {}M}$ vom Rang ${\displaystyle {}4n}$, wenn ${\displaystyle {}n}$ die komplexe Dimension von ${\displaystyle {}M}$ bezeichnet. Lokal besitzt es eine Darstellung der Form ${\displaystyle {}U\times \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left({\mathbb {C} }^{n},{\mathbb {C} }\right)}}$ für ein Kartengebiet ${\displaystyle {}U}$. Daher ist auch klar, was man unter einem stetigen oder einem differenzierbaren Schnitt in diesem Bündel versteht. Das Bündel besitzt ferner eine Zerlegung

${\displaystyle {}E^{(1)}=T^{*}M\oplus {\overline {T}}^{*}M\,}$

in das holomorphe und das antiholomorphe Kotangentialbündel, das analog zum holomorphen Kotangentialbündel definiert wird.

Die Menge aller differenzierbaren 1-Formen auf ${\displaystyle {}M}$ wird mit ${\displaystyle {}{\mathcal {E}}^{(1)}(M)}$ bezeichnet.

Insbesondere ist eine holomorphe Differentialform eine ${\displaystyle {}(1,0)}$-Form. Wenn ${\displaystyle {}\omega }$ eine holomorphe Differentialform ist und ${\displaystyle {}f}$ eine reell-differenzierbare komplexwertige Funktion, so ist ${\displaystyle {}f\omega }$ eine ${\displaystyle {}(1,0)}$-Form, aber nur bei ${\displaystyle {}f}$ holomorph selbst wieder eine holomorphe Differentialform.

Lemma

Auf einerkomplexen Mannigfaltigkeit${\displaystyle {}M}$ bilden die differenzierbaren 1-Formen ${\displaystyle {}{\mathcal {E}}^{(1)}}$ und die differenzierbaren 1-Formen${\displaystyle {}{\mathcal {E}}^{(1,0)}}$ bzw. ${\displaystyle {}{\mathcal {E}}^{(0,1)}}$vom Typ${\displaystyle {}(1,0)}$ bzw. ${\displaystyle {}(0,1)}$

Garben.

Beweis

SieheAufgabe 16.9.

${\displaystyle \Box }$

Die Garbe der holomorphen Differentialformen ${\displaystyle {}\Omega _{X}}$ ist eine Untergarbe der Garbe der ${\displaystyle {}(1,0)}$-Formen.

Lemma

Auf einerkomplexen Mannigfaltigkeit${\displaystyle {}M}$ besitzt die Garbe der differenzierbaren 1-Formen ${\displaystyle {}{\mathcal {E}}^{(1)}}$

eine kanonische Zerlegung

${\displaystyle {}{\mathcal {E}}^{(1)}={\mathcal {E}}^{(1,0)}\oplus {\mathcal {E}}^{(0,1)}\,.}$

Beweis

SieheAufgabe 16.10.

${\displaystyle \Box }$

Die Funktionen${\displaystyle {}f\in {\mathcal {E}}{\left(M\right)}}$ sind unendlich oft differenzierbar, was eine lokale Eigenschaft ist, es gibt aber keine Ableitungsfunktion auf ${\displaystyle {}M}$. Stattdessen ist die Ableitung eine differenzierbare ${\displaystyle {}1}$-Form, nämlich ${\displaystyle {}df}$, also für jeden Punkt${\displaystyle {}P\in M}$die ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-lineare Abbildung

${\displaystyle d_{P}f\colon T_{P}M\longrightarrow {\mathbb {C} }.}$

So erhält man eine Gesamtableitung

${\displaystyle d\colon {\mathcal {E}}{\left(M\right)}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{(1)}}{\left(M\right)},\,f\longmapsto df,}$

bzw. die Garbenversion davon auf jeder offenen Menge. Mit der inLemma 16.10gezeigten Zerlegung${\displaystyle {}{\mathcal {E}}^{(1)}={\mathcal {E}}^{(1,0)}\oplus {\mathcal {E}}^{(0,1)}}$erhält man auch die holomorphe Ableitung

${\displaystyle d^{h}\colon {\mathcal {E}}{\left(M\right)}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{(1,0)}}{\left(M\right)},\,f\longmapsto d^{h}f,}$

und die antiholomorphe Ableitung

${\displaystyle d^{a}\colon {\mathcal {E}}{\left(M\right)}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{(0,1)}}{\left(M\right)},\,f\longmapsto d^{a}f.}$

Lokal kann man diese Abbildungen folgendermaßen beschreiben. Für eine offene Teilmenge${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}}$mit den komplexen Koordinatenfunktionen

${\displaystyle {}z_{j}=x_{j}+y_{j}{\mathrm {i} }\,}$

mit den reellwertigen Koordinatenfunktionen ${\displaystyle {}x_{j},y_{j}}$ und eine reell-differenzierbare komplexwertige Funktion ${\displaystyle {}f}$ setzt man daher

${\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z_{j}}}}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\,.}$

Lemma  

Es sei${\displaystyle {}f\colon M\rightarrow {\mathbb {C} }}$einedifferenzierbare Funktionauf einerkomplexen Mannigfaltigkeit${\displaystyle {}M}$ und es sei

${\displaystyle {}df=d^{h}f+d^{a}f\,}$

die kanonische Zerlegung der zugehörigen Differentialform${\displaystyle {}df\in {\mathcal {E}}^{(1)}(M)={\mathcal {E}}^{(1,0)}(M)\oplus {\mathcal {E}}^{(0,1)}(M)}$.Es sei${\displaystyle {}U\subseteq M}$ein Kartengebiet mit lokalen Koordinaten ${\displaystyle {}z_{1},\ldots ,z_{n}}$.

Dann gelten auf ${\displaystyle {}U}$ die Identitäten

${\displaystyle {}d^{h}f=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}dz_{j}\,}$

und

${\displaystyle {}d^{a}f=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}_{j}}}d{\overline {z}}_{j}\,.}$

Beweis  

Wir können direkt${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}}$annehmen. Sei

${\displaystyle {}z_{j}=x_{j}+{\mathrm {i} }y_{j}\,.}$

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}df&=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x_{j}}}}dx_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}dy_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left({\frac {\partial f}{\partial {x_{j}}}}dx_{j}+{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}dy_{j}\right)}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}{\left({\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}-{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\right)}{\left(dx_{j}+{\mathrm {i} }dy_{j}\right)}+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\right)}{\left(dx_{j}-{\mathrm {i} }dy_{j}\right)}\right)}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}{\left({\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}-{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\right)}dz_{j}+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\right)}d{\overline {z}}_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}dz_{j}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}_{j}}}d{\overline {z}}_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}dz_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}_{j}}}d{\overline {z}}_{j},\end{aligned}}}$

und die Summe links gehört zu ${\displaystyle {}{\mathcal {E}}^{(1,0)}}$.

${\displaystyle \Box }$

Der Dolbeault-Komplex

Lemma  

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche.

Dann ist der Komplex

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {E}}{\stackrel {d^{a}}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}^{(0,1)}}$

exakt.

Beweis  

Die Untergarbenbeziehung wurde schon inLemma 16.2gezeigt. Zum Nachweis der Exaktheit können wir annehmen, dass${\displaystyle {}X\subseteq {\mathbb {C} }}$eine offene Teilmenge ist. NachLemma 16.11wird ${\displaystyle {}d^{a}}$ durch ${\displaystyle {}f\mapsto {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}d\,{\overline {z}}}$ beschrieben. Die Holomorphie von ${\displaystyle {}f}$ ist dann nachCauchy-Riemannäquivalent zu${\displaystyle {}d^{a}f=0}$.

${\displaystyle \Box }$

Die Exaktheit rechts ist schwieriger zu zeigen, sie beruht auf dem folgenden Satz der Funktionentheorie, den wir hier nicht beweisen.

Satz  

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche.

Dann ist der Komplex

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}\,{\stackrel {d^{a}}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(0,1)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

exakt.

Beweis  

Dies folgt ausLemma 16.12und, da man die Exaktheit lokal testen kann, unter Verwendung vonLemma 16.11ausSatz 16.13.

${\displaystyle \Box }$

Äußere Ableitung

Für Formen von höherem Grad und äußerer Ableitung siehe

Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt und Differentialformen/Äußere Ableitung/Einführung/Textabschnitt

Im Zweidimensionalen besitzt eine ${\displaystyle {}2}$-Form die lokale Gestalt

${\displaystyle hdx\wedge dy}$

mit einer reell- oder komplexwertigen differenzierbaren Funktion ${\displaystyle {}h}$. Im Komplexen gilt die Beziehung

${\displaystyle {}dz\wedge d\,{\overline {z}}=-2{\mathrm {i} }dx\wedge dy\,.}$

Die äußere Ableitung bildet eine ${\displaystyle {}1}$-Form ${\displaystyle {}fdx+gdy}$ auf

${\displaystyle {}{\begin{aligned}d(fdx+gdy)&=df\wedge dx+dg\wedge dy\\&={\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)}\wedge dx+{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}dx+{\frac {\partial g}{\partial y}}dy\right)}\wedge dy\\&={\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}dx\wedge dy\end{aligned}}}$

ab. Eine Form ${\displaystyle {}fdz}$ wird auf ${\displaystyle {}-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}}$ abgebildet.

Satz  

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche.

Dann ist der Komplex

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(1,0)}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(2)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

exakt.

Beweis  

Da die Exaktheit eine lokale Frage ist, können wir direkt annehmen, dass ${\displaystyle {}X}$ eine offene Kreisscheibe ${\displaystyle {}U}$ ist. Eine Differentialform in der Mitte besitzt die Gestalt ${\displaystyle {}fdz}$ mit${\displaystyle {}f\in {\mathcal {E}}(U)}$,sie wird auf ${\displaystyle {}df=-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}}$abgebildet. Dies ist genau dann ${\displaystyle {}0}$, wenn ${\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}}$ gleich ${\displaystyle {}0}$ ist. Deshalb folgt die Exaktheit in der Mitte aus der Cauchy-Riemann-Differentialgleichung und die Exaktheit rechts ausSatz 16.13.

${\displaystyle \Box }$

NachSatz 88.10 (Analysis (Osnabrück 2014-2016))gibt es auf einer riemannschen Fläche mit abzählbarer Topologie eine differenzierbare nullstellenfreie Flächenform ${\displaystyle {}\tau }$. Dabei gilt

${\displaystyle {}\int _{X}\tau \neq 0\,.}$

Daraus folgt im kompakten Fall mitSatz 89.2 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)),dass zu einer ${\displaystyle {}1}$-Form ${\displaystyle {}\omega }$ die Ableitung ${\displaystyle {}d\tau }$ nicht die Flächenform ist. Eine positive Flächenform liegt also in der Situation des vorstehenden Satzes nicht im globalen Bild und wird auf eine nichttriviale erste Kohomologieklasse in ${\displaystyle {}H^{1}(X,\Omega )}$ abgebildet.

Lemma  

Zu einerholomorphen Differentialform${\displaystyle {}\omega \in \Gamma (X,\Omega _{X})}$auf einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$

gehört das kommutative Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H^{0}(X,{\mathcal {E}})&{\stackrel {d^{a}}{\longrightarrow }}&H^{0}(X,{{\mathcal {E}}^{(0,1)}})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\!\!\!\!\!\cdot \omega \downarrow &&\downarrow \cdot \omega \!\!\!\!\!&&\downarrow &&\downarrow &\\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H^{0}(X,\Omega _{X})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H^{0}(X,{{\mathcal {E}}^{(1,0)}})&{\stackrel {d}{\longrightarrow }}&H^{0}(X,{{\mathcal {E}}^{(2)}})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\end{matrix}}}$

vonGarbenmit exakten Zeilen.

Beweis  

Die Exaktheit der ersten Zeile istSatz 16.14,die Exaktheit der zweiten Zeile istSatz 16.15.Zu einer Funktion${\displaystyle {}f\in H^{0}(X,{\mathcal {E}})}$ist nachSatz 86.4 (Analysis (Osnabrück 2014-2016))  (3)

${\displaystyle {}d(f\omega )=(df)\wedge \omega +fd\omega =(df)\wedge \omega \,,}$

da ja die holomorphe Form geschlossen ist.

${\displaystyle \Box }$