Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 16

Es sei ${\displaystyle {}M}$ einekomplexe Mannigfaltigkeit.Zeige, dass folgende Aussagen gelten.

1. Die Zuordnung ${\displaystyle {}U\mapsto {\mathcal {E}}{\left(U\right)}}$ zu${\displaystyle {}U\subseteq M}$offen ist eineGarbevon kommutativen Ringenauf ${\displaystyle {}M}$.
2. DieStrukturgarbe${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{M}}$ ist eine Untergarbevon ${\displaystyle {}{\mathcal {E}}}$.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ einekomplexe Mannigfaltigkeit.Zeige, dass für die Garbeder unendlich oft reell-differenzierbaren${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-wertigen Funktionen ${\displaystyle {}U\mapsto {\mathcal {E}}{\left(U\right)}}$ dieHalmein jedem Punkt${\displaystyle {}P\in M}$isomorphsind und nur von derDimensionder Mannigfaltigkeit abhängen.

Es sei${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$eineholomorpheÜberlagerungzwischen denkomplexen Mannigfaltigkeiten${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$.

1. Zeige, dass zu einer ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-wertigen unendlich oft reell-differenzierbarenFunktion${\displaystyle {}h\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }}$die nach ${\displaystyle {}Y}$ zurückgezogene Funktion

   ${\displaystyle {}g:=h\circ p\,}$

   die Eigenschaft besitzt, dass für jede Decktransformation${\displaystyle {}\theta \colon Y\rightarrow Y}$die Gleichheit

   ${\displaystyle {}g\circ \theta =g\,}$

   gilt.

2. Die Überlagerung sei nunnormal.Es sei

   ${\displaystyle g\colon Y\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

   eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass für jede Decktransformation ${\displaystyle {}\theta }$ die Identität${\displaystyle {}g\circ \theta =g}$gilt. Zeige, dass es eine differenzierbare Funktion${\displaystyle {}h\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }}$mit${\displaystyle {}g=h\circ p}$gibt.

Bestimme die Zerlegung in den ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-linearen und den${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-antilinearenAnteil der${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-linearen Abbildung${\displaystyle {}\varphi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }}$,die bezüglich der reellenBasis${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$durch die Matrix${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-5&4\\3&7\end{pmatrix}}}$ beschrieben wird.

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x+y{\mathrm {i} })\longmapsto 2x-3y+xy^{2}+{\left(x^{2}-xy-y^{5}\right)}{\mathrm {i} }.}$

1. Bestimme das totale Differential${\displaystyle {}\left(Df\right)_{P}}$ von ${\displaystyle {}f}$ bezüglich derBasis${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$in einem beliebigen Punkt${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }}$.
2. Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials ${\displaystyle {}\left(Df\right)_{P}}$ in den ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-linearen und den${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-antilinearenAnteil.

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x+y{\mathrm {i} })\longmapsto \sin \left(xy\right)+{\left(x^{3}-xy^{2}+2y^{4}\right)}{\mathrm {i} }.}$

1. Bestimme das totale Differential${\displaystyle {}\left(Df\right)_{P}}$ von ${\displaystyle {}f}$ bezüglich derBasis${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$in einem beliebigen Punkt${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }}$.
2. Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials ${\displaystyle {}\left(Df\right)_{P}}$ in den ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-linearen und den${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-antilinearenAnteil.

Wir betrachten dieriemannsche Zahlenkugel${\displaystyle {}S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$.Bestimme die reell-differenzierbaren ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-wertigen Funktionen auf ${\displaystyle {}S^{2}}$, die sich ergeben, wenn man eine Projektion

${\displaystyle p_{ij}\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} }}$

betrachtet. Wie sieht die Zerlegung des totalen Differentialsin den ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-linearen und den${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-antilinearenAnteil aus?

Wir betrachten dasGitter${\displaystyle {}\Gamma =\langle 1,{\mathrm {i} }\rangle \subseteq {\mathbb {C} }}$und den zugehörigen Torus${\displaystyle {}{\mathbb {C} }/\Gamma \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \times \mathbb {R} {\mathrm {i} }/\mathbb {Z} {\mathrm {i} }\cong S^{1}\times S^{1}}$. Wir betten die Einheitssphären jeweils wieder in den${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} }}$ein.

1. Zeige, dass bei der Projektion über die erste Komponente insgesamt die Abbildung

   ${\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x+y{\mathrm {i} }\longmapsto \cos 2\pi x+{\mathrm {i} }\sin 2\pi x,}$

   vorliegt.

2. Zeige, dass bei der Projektion über die zweite Komponente insgesamt die Abbildung

   ${\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x+y{\mathrm {i} }\longmapsto \cos 2\pi y+{\mathrm {i} }\sin 2\pi y,}$

   vorliegt.

3. Bestimme für die Abbildungen aus (1) und (2) für jeden Punkt${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }}$die Zerlegung des totalen Differentials${\displaystyle {}\left(Df\right)_{P}}$ in den ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-linearen und den${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-antilinearenAnteil.

Zeige, dass auf einerkomplexen Mannigfaltigkeit${\displaystyle {}M}$ die differenzierbaren 1-Formen ${\displaystyle {}{\mathcal {E}}^{(1)}}$ und die differenzierbaren 1-Formen${\displaystyle {}{\mathcal {E}}^{(1,0)}}$ bzw. ${\displaystyle {}{\mathcal {E}}^{(0,1)}}$vom Typ${\displaystyle {}(1,0)}$ bzw. ${\displaystyle {}(0,1)}$Garbenbilden.

Zeige, dass auf einerkomplexen Mannigfaltigkeit${\displaystyle {}M}$ die Garbe der differenzierbaren 1-Formen ${\displaystyle {}{\mathcal {E}}^{(1)}}$ eine kanonische Zerlegung

${\displaystyle {}{\mathcal {E}}^{(1)}={\mathcal {E}}^{(1,0)}\oplus {\mathcal {E}}^{(0,1)}\,}$

besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ einekomplexe Mannigfaltigkeitund${\displaystyle {}d\colon {\mathcal {E}}{\left(M\right)}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{(1)}}{\left(M\right)}}$, ${\displaystyle {}f\longmapsto df}$die Ableitung, die einer komplexwertigenreell unendlich oft differenzierbarenFunktion ihre zugehörige ${\displaystyle {}1}$-Form zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es ist ${\displaystyle {}d(f+g)=df+dg}$.
2. Es ist${\displaystyle {}daf=adf}$für${\displaystyle {}a\in {\mathbb {C} }}$.
3. Es gilt die Produktregel

   ${\displaystyle {}dfg=fdg+gdf\,.}$

4. Für ${\displaystyle {}f}$ nullstellenfrei ist

   ${\displaystyle {}df^{-1}=-{\frac {1}{f^{2}}}df\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}M}$ einekomplexe Mannigfaltigkeitund${\displaystyle {}d\colon {\mathcal {E}}{\left(M\right)}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{(1)}}{\left(M\right)}}$, ${\displaystyle {}f\longmapsto df}$die Ableitung, die einer komplexwertigenreell unendlich oft differenzierbarenFunktion ihre zugehörige ${\displaystyle {}1}$-Form zuordnet. Zeige${\displaystyle {}df=0}$genau dann, wenn ${\displaystyle {}f}$ lokal konstantist.

Zeige, dass auf einerkomplexen Mannigfaltigkeit${\displaystyle {}M}$ einexakterGarbenkomplex

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathcal {E}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(1)}}}$

vorliegt, wobei ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ die Garbe der lokal konstanten komplexwertigen Funktionen bezeichnet. Zeige, dass die letzte Abbildung nichtsurjektivist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ einekomplexe Mannigfaltigkeitund${\displaystyle {}f\colon M\rightarrow {\mathbb {C} }}$einereell unendlich oft differenzierbareFunktion. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}f}$ ist eineholomorphe Funktion.
2. Es ist${\displaystyle {}df=d^{h}f}$.
3. Es ist${\displaystyle {}d^{a}f=0}$.