Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 18

Es sei${\displaystyle {}f\neq 0}$eine meromorphe Funktion${\displaystyle {}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }}$auf einemGebiet${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }}$.Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ in${\displaystyle {}a\in U}$ genau dann eine Nullstelle der Ordnung ${\displaystyle {}k}$ besitzt, wenn ${\displaystyle {}f^{-1}}$ in ${\displaystyle {}a}$ einen Pol der Ordnung ${\displaystyle {}k}$ besitzt.

Zeige, dass zu einermeromorphen Funktion${\displaystyle {}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }}$auf eineroffenen Teilmenge${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }}$auch dieAbleitung${\displaystyle {}f'}$ meromorph ist. Was passiert dabei mit der Polstellenordnung in einem Punkt?

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche.Es sei${\displaystyle {}D\subset X}$einediskrete Teilmengeund${\displaystyle {}f\colon X\setminus D\rightarrow {\mathbb {C} }}$eineholomorphe Funktion.Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}f}$ ist eine meromorphe Funktion.
2. Für jedes Kartengebiet${\displaystyle {}U\subseteq X}$ ist die holomorphe Funktion${\displaystyle {}f{|}_{(X\setminus D)\cap U}\circ \alpha ^{-1}{|}_{\alpha (U)\setminus \alpha (D\cap U)}\colon \alpha (U)\setminus \alpha (D\cap U)\rightarrow {\mathbb {C} }}$ meromorph.
3. Es gibt eine offene Überdeckung${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$mit Kartengebieten ${\displaystyle {}U_{i}}$ derart, dass die holomorphen Funktionen${\displaystyle {}f{|}_{(X\setminus D)\cap U_{i}}\circ \alpha _{i}^{-1}{|}_{\alpha _{i}(U_{i})\setminus \alpha _{i}(D\cap U_{i})}\colon \alpha _{i}(U_{i})\setminus \alpha _{i}(D\cap U_{i})\rightarrow {\mathbb {C} }}$ meromorph sind.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Flächeund sei${\displaystyle {}U\subseteq X}$eine offene Teilmenge. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Einschränkung einer meromorphen Funktion${\displaystyle {}f}$ von ${\displaystyle {}X}$ auf ${\displaystyle {}U}$ ist meromorph.
2. Die Zuordnung ${\displaystyle {}U\mapsto {\mathcal {M}}{\left(U\right)}}$ ist eineGarbe von kommutativen Gruppenauf ${\displaystyle {}X}$.
3. Wenn${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}U}$ zusammenhängendsind, so liegt eineKörpererweiterung

   ${\displaystyle {\mathcal {M}}{\left(X\right)}\longrightarrow {\mathcal {M}}{\left(U\right)},\,f\longmapsto f{|}_{U},}$

   vor.

Bestimme zur Garbe${\displaystyle {}{\mathcal {M}}}$ dermeromorphen Funktionenauf einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ den Halm${\displaystyle {}{\mathcal {M}}_{P}}$ in einem beliebigen Punkt${\displaystyle {}P\in X}$.

Es sei${\displaystyle {}U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }}$ eine offene Kreisscheibe und ${\displaystyle {}V=U\setminus \{0\}}$.Es sei ${\displaystyle {}f}$ eine meromorphe Funktionauf ${\displaystyle {}V}$ und seien ${\displaystyle {}\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{d-1}}$ meromorphe Funktionen auf ${\displaystyle {}U}$. Es erfülle ${\displaystyle {}f}$ die Ganzheitsgleichung

${\displaystyle {}f^{d}+\alpha _{d-1}f^{d-1}+\cdots +\alpha _{2}f^{2}+\alpha _{1}f+\alpha _{0}=0\,}$

auf ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ auf ganz ${\displaystyle {}U}$ meromorph ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Flächeund sei${\displaystyle {}V=X\setminus D\subseteq X}$ das Komplement einer diskreten Teilmenge${\displaystyle {}D}$. Es sei ${\displaystyle {}f}$ eine meromorphe Funktionauf ${\displaystyle {}V}$ und seien ${\displaystyle {}\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{d-1}}$ meromorphe Funktionen auf ${\displaystyle {}X}$. Es erfülle ${\displaystyle {}f}$ die Ganzheitsgleichung

${\displaystyle {}f^{d}+\alpha _{d-1}f^{d-1}+\cdots +\alpha _{2}f^{2}+\alpha _{1}f+\alpha _{0}=0\,}$

auf ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ auf ganz ${\displaystyle {}X}$ meromorph ist.

Zeige, dass diekomplexe Exponentialfunktionauf${\displaystyle {}{\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$keinen sinnvollen Limes im unendlich fernen Punkt${\displaystyle {}\infty \in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$besitzt und die Exponentialfunktion insbesondere keine meromorphe Funktionauf der projektiven Geraden ist.

Zeige, dass die reelle Exponentialfunktion

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{x},}$

keine rationale Funktion ist.

Formuliere und beweise eine Version vonSatz 18.6für den Fall, dass ${\displaystyle {}X}$ nichtzusammenhängendist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einezusammenhängenderiemannsche Flächeund ${\displaystyle {}f}$ eine nichtkonstantemeromorphe Funktionauf ${\displaystyle {}X}$ mit der zugehörigen holomorphen Abbildung${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$im Sinne vonSatz 18.6.Zeige, dass die über die Laurent-EntwicklungendefinierteGesamtpolstellenordnungvon ${\displaystyle {}f}$ mit derGesamtnullstellenordnungvon ${\displaystyle {}f^{-1}}$ und mit der über das VerzweigungsverhaltendefiniertenGesamtordnung${\displaystyle {}\sum _{x\in \varphi ^{-1}(\infty )}\operatorname {Verz} {\left(x{|}\infty \right)}}$ übereinstimmt.

Bestimme dieHauptteilverteilungzur meromorphen Funktion${\displaystyle {}{\frac {z^{3}}{(z-2)^{2}}}}$ auf ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$.

Bestimme dieHauptteilverteilungzur meromorphen Funktion${\displaystyle {}{\frac {z-1}{(z-3)z^{2}}}}$ auf ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$.

Zeige, dass die Hauptteilverteilungenauf einer riemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ eine Garbe von kommutativen Gruppenbilden.

EineGarbe${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ auf einemtopologischen Raum${\displaystyle {}X}$ heißtwelk, wenn für offene Teilmengen${\displaystyle {}U\subseteq V}$die Einschränkungsabbildungen

${\displaystyle {\mathcal {G}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}}$

surjektivsind.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ einewelke Garbeauf einemtopologischen Raum${\displaystyle {}X}$. Zeige, dass für jeden Punkt${\displaystyle {}P\in X}$und jede offene Umgebung${\displaystyle {}P\in U}$die Abbildung

${\displaystyle \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}}$

surjektivist.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {T}}}$ die GarbederHauptteilverteilungenauf einer riemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. ${\displaystyle {}{\mathcal {T}}}$ ist im Allgemeinen nichtwelk.
2. Für jeden Punkt${\displaystyle {}P\in X}$und jede offene Umgebung${\displaystyle {}P\in U}$ist die Abbildung

   ${\displaystyle \Gamma {\left(U,{\mathcal {T}}\right)}\longrightarrow {\mathcal {T}}_{P}}$

   surjektiv.

Zeige, dass auf ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$ diemeromorphe Differentialform${\displaystyle {}{\frac {dz}{z}}}$ nicht die Form ${\displaystyle {}df}$ mit einermeromorphen Funktion${\displaystyle {}f}$ besitzt.

BeweiseKorollar 18.7mit dem Residuensatz.

Zeige, dass auf einerriemannschen Flächeeinekurze exakte SequenzvonGarben

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {M}}^{(1)}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

vorliegt.