Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 18

Meromorphe Funktionen

Dabei werden meromorphe Funktionen als gleich angesehen, wenn sie als holomorphe Funktionen auf dem offenen Komplement einer diskreten Teilmenge übereinstimmen. Wenn der Limes gleich ${\displaystyle {}\infty }$ ist, was bedeutet, dass für ${\displaystyle {}\vert {y}\vert \rightarrow \infty }$ auch ${\displaystyle {}\vert {f(y)}\vert \rightarrow \infty }$ gilt, so sagt man, dass ein Pol in ${\displaystyle {}y}$ vorliegt. Wenn der Limes in einem Punkt existiert(also in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$),so kann man nachdem Riemannschen Hebbarkeitssatzdie Funktion in diesem Punkt holomorph fortsetzen. Man kann daher jede meromorphe Funktion durch eine holomorphe Funktion auf einer größtmöglichen offenen Menge repräsentieren, nämlich auf dem Komplement der Polstellen. Insbesondere ist eine meromorphe Funktion genau dann eine holomorphe Funktion, wenn sie keine Polstellen besitzt, wenn also${\displaystyle {}D=\emptyset }$gewählt werden kann.

Eine meromorphe Funktion ${\displaystyle {}f}$ besitzt in jedem Punkt ${\displaystyle {}P}$ mit einem lokalen Parameter${\displaystyle {}z}$ eine Laurent-Entwicklung, also auf dem Kartenbild eine Darstellung

${\displaystyle {}f(z)=\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}\,}$

mit ${\displaystyle {}k\in \mathbb {Z} }$und(bei${\displaystyle {}f\neq 0}$)${\displaystyle {}c_{k}\neq 0}$.Bei${\displaystyle {}k\geq 0}$ist die Funktion in ${\displaystyle {}P}$ holomorph und bei${\displaystyle {}k\in \mathbb {Z} _{-}}$liegt ein Pol vor, wobei ${\displaystyle {}-k}$ die Polstellenordnung heißt(generell heißt ${\displaystyle {}k}$ die Nullstellenordnung im Punkt).

Lemma

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche.es sei${\displaystyle {}D\subseteq X}$einediskrete Teilmengeund${\displaystyle {}f\colon X\setminus D\rightarrow {\mathbb {C} }}$eineholomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${\displaystyle {}f}$ ist eine meromorphe Funktion.
2. Für jedes Kartengebiet${\displaystyle {}U\subseteq X}$ ist die holomorphe Funktion${\displaystyle {}f{|}_{(X\setminus D)\cap U}\circ \alpha ^{-1}{|}_{\alpha (U)\setminus \alpha (D\cap U)}\colon \alpha (U)\setminus \alpha (D\cap U)\rightarrow {\mathbb {C} }}$ meromorph.
3. Es gibt eine offene Überdeckung${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$mit Kartengebieten ${\displaystyle {}U_{i}}$ derart, dass die holomorphen Funktionen${\displaystyle {}f{|}_{(X\setminus D)\cap U_{i}}\circ \alpha _{i}^{-1}{|}_{\alpha _{i}(U_{i})\setminus \alpha _{i}(D\cap U_{i})}\colon \alpha _{i}(U_{i})\setminus \alpha _{i}(D\cap U_{i})\rightarrow {\mathbb {C} }}$ meromorph sind.

Beweis

SieheAufgabe 18.3.

${\displaystyle \Box }$

Meromorphe Funktionen${\displaystyle {}f_{1}}$ und ${\displaystyle {}f_{2}}$auf einer riemannschen Fläche ${\displaystyle {}X}$ kann man in natürlicher Weise addieren und multiplizieren. Dazu fasst man die jeweiligen diskreten Ausnahmemengen ${\displaystyle {}D_{1}}$ und ${\displaystyle {}D_{2}}$zu einer diskreten Menge${\displaystyle {}D=D_{1}\cup D_{2}}$zusammen und addiert bzw. multipliziert die holomorphen Funktionen auf ${\displaystyle {}X\setminus D}$. Die Summe bzw. das Produkt besitzt in den Punkten aus ${\displaystyle {}D}$ entweder einen Limes oder aber einen Pol.

Satz  

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einezusammenhängenderiemannsche Fläche.

Dann ist die Menge dermeromorphen Funktionenauf ${\displaystyle {}X}$ mit den natürlichen Verknüpfungen ein Körper.

Beweis  

Es ist klar, dass ein kommutativer Ringvorliegt. Es sei ${\displaystyle {}f}$ eine meromorphe Funktion${\displaystyle {}\neq 0}$ auf ${\displaystyle {}X}$, die auf ${\displaystyle {}X\setminus D}$ holomorph sei. NachSatz 3.5ist die Nullstellenmenge ${\displaystyle {}E}$ von ${\displaystyle {}f}$ innerhalb von ${\displaystyle {}X\setminus D}$ diskret. Somit ist ${\displaystyle {}f^{-1}}$ auf ${\displaystyle {}X\setminus {\left(D\cup E\right)}}$ nachLemma 3.4holomorph und aus den Nullstellen von ${\displaystyle {}f}$ werden Polstellen und umgekehrt.

${\displaystyle \Box }$

Wir bezeichnen diesen Körper mit ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}{\left(X\right)}}$.

Lemma

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Flächeund sei${\displaystyle {}U\subseteq X}$eine offene Teilmenge.

1. Die Einschränkung einer meromorphen Funktion${\displaystyle {}f}$ von ${\displaystyle {}X}$ auf ${\displaystyle {}U}$ ist meromorph.
2. Die Zuordnung ${\displaystyle {}U\mapsto {\mathcal {M}}{\left(U\right)}}$ ist eineGarbe von kommutativen Ringenauf ${\displaystyle {}X}$.
3. Wenn${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}U}$ zusammenhängendsind, so liegt eineKörpererweiterung

   ${\displaystyle {\mathcal {M}}{\left(X\right)}\longrightarrow {\mathcal {M}}{\left(U\right)},\,f\longmapsto f{|}_{U},}$

   vor.

Beweis

SieheAufgabe 18.4.

${\displaystyle \Box }$

Die Garbe der meromorphen Funktionen auf ${\displaystyle {}X}$ wird mit ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}_{X}}$ oder mit ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}}$ bezeichnet. Es liegt die Untergarbenbeziehung

${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}\subseteq {\mathcal {M}}_{X}\,}$

vor. Schon das Beispiel

${\displaystyle {}U{\left(0,r\right)}\subset U{\left(0,s\right)}\subset {\mathbb {C} }\,}$

mit${\displaystyle {}r<s}$zeigt, dass die Restriktionsabbildung für die meromorphen Funktionen im Allgemeinen nicht surjektiv ist, da es zu jedem Radius holomorphe Funktionen mit diesem Konvergenzradius gibt, die nicht über den Rand hinaus fortsetzbar sind.

Wir werden inSatz 26.9sehen, dass auf der projektiven Geraden jede meromorphe Funktion rational ist. Generell besitzt auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche der Körper der meromorphen Funktionen eine algebraische Beschreibung, was für nichtkompakte riemannsche Flächen keineswegs gilt.

Holomorphe Abbildungen nach ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$

Satz  

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eine zusammenhängenderiemannsche Fläche.

Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen meromorphen Funktionenauf ${\displaystyle {}X}$ undholomorphen Abbildungenvon ${\displaystyle {}X}$ nach ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$, die nicht konstant gleich ${\displaystyle {}\infty }$ sind.

Einer meromorphen Funktion ${\displaystyle {}f}$ wird dabei die Abbildung zugeordnet, die auf dem polstellenfreien Ort die holomorphe Funktion

${\displaystyle X\setminus \operatorname {Pol} (f)\longrightarrow {\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$

ist und die die Polstellen von ${\displaystyle {}f}$ auf ${\displaystyle {}\infty }$ abbildet.

Beweis  

Es liegt unmittelbar die holomorphe Funktion

${\displaystyle X\setminus \operatorname {Pol} (f)\longrightarrow {\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$

vor. Das die beschriebene Fortsetzung nach ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$ ebenfalls holomorph ist, kann man für jeden einzelnen Punkt ${\displaystyle {}P}$, an dem ein Pol vorliegt, nachweisen. Es habe also ${\displaystyle {}f}$ einen Pol in ${\displaystyle {}P}$ und sei${\displaystyle {}P\in U\subseteq X}$eine offene Kreisscheibenumgebung, auf der ${\displaystyle {}f}$ keine Nullstelle und keinen weiteren Pol besitze. Es besitzt dann ${\displaystyle {}f}$ auf ${\displaystyle {}U}$(bzw. dem zugehörigen Kartenbild)eine Laurent-Entwicklung${\displaystyle {}\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}}$ mit${\displaystyle {}k\in \mathbb {Z} _{-}}$und${\displaystyle {}c_{k}\neq 0}$.Wir schreiben

${\displaystyle {}f=\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}=z^{k}{\left(\sum _{m=0}^{\infty }c_{k+m}z^{m}\right)}=z^{k}g(z)\,.}$

Es ist ${\displaystyle {}g(z)}$ holomorph ohne Nullstelle und daher ist

${\displaystyle {}{\frac {1}{g(z)}}=h(z)\,}$

holomorph(auf einer eventuell kleineren Umgebung).Die zusammengesetzte Abbildung

${\displaystyle U\setminus \{0\}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }^{\times }{\stackrel {w\mapsto w^{-1}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$

ist ${\displaystyle {}z\mapsto z^{-k}h(z)}$. Diese lässt sich durch ${\displaystyle {}0\mapsto 0}$ holomorph fortsetzen. Da sich die projektive Gerade aus den beiden ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ mit der Identifizierung${\displaystyle {}z=w^{-1}}$auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }^{\times }}$ zusammenklebt, liegt eine wohldefinierte Abbildung in die projektive Gerade vor.

${\displaystyle \Box }$

Zu einer meromorphen Funktion ${\displaystyle {}f}$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche ${\displaystyle {}X}$ versteht man unter der Gesamtnullstellenordnung einfach die Gesamtnullstellenordnungder zugehörigen holomorphen Funktion (auf dem maximalen Definitionsbereich),also die Summe ${\displaystyle {}\sum _{x\in \varphi ^{-1}(0)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}0\right)}}$, falls diese endlich ist. Hierbei werden die Nullstellen von ${\displaystyle {}f}$ zusammen mit ihren jeweiligen Ordnungen gezählt, die man aus der Potenzreihenentwicklung ablesen kann. Die Gesamtpolstellenordnung von ${\displaystyle {}f}$ ist entsprechend die Summe ${\displaystyle {}\sum _{x\in \operatorname {Pol} (f)}-k_{x}}$, wenn ${\displaystyle {}k_{x}}$ die Startordnung der Laurent-Entwicklung von ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}x}$ bezeichnet. Diese Gesamtpolstellenordnung kann man wiederum alsGesamtordnungüber ${\displaystyle {}\infty }$ der zugehörigen holomorphen Abbildung nach ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$ auffassen, sieheAufgabe 18.11.

Korollar  

Es sei ${\displaystyle {}f}$ eine nichtkonstantemeromorphe Funktionauf der zusammenhängendenkompaktenriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$.

Dann stimmt die Gesamtnullstellenordnung von ${\displaystyle {}f}$ mit der Gesamtpolstellenordnung von ${\displaystyle {}f}$ überein.

Beweis  

Dies folgt unter Verwendung vonSatz 18.6undAufgabe 18.11ausKorollar 9.9.

${\displaystyle \Box }$

Hauptteile

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eine riemannsche Fläche.Für jede offene Teilmenge${\displaystyle {}U\subseteq X}$liegt die Beziehung

${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}(U)\subseteq {\mathcal {M}}{\left(U\right)}\,}$

vor, da ja jedeholomorphe Funktioninsbesondere einemeromorphe Funktionist. Wir haben also eine Untergarbenbeziehung${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}\subseteq {\mathcal {M}}_{X}}$ und wollen dieQuotientengarbedazu bestimmen. Zur Formulierung verwenden wir die folgenden Begriffe.

Der Hauptteil ist ein Element des Restklassenmoduls ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}_{P}/{\mathcal {O}}_{P}}$. Diese Sichtweise ist wichtiger als die übersichtliche Darstellung mit einem lokalen Parameter. Der Hauptteil einer holomorphen Funktion ist ${\displaystyle {}0}$, der Hauptteil ist also relevant für das Polstellenverhalten einer meromorphen Funktion und ist dafür ein gewisses Maß. Jeder Hauptteil wird durch eine besonders einfache meromorphe Funktion repräsentiert, nämlich ein Polynom in ${\displaystyle {}z^{-1}}$ ohne konstanten Term. Die Potenzen${\displaystyle {}z^{k}}$, ${\displaystyle {}k\in \mathbb {Z} _{-}}$,bilden eine${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Basisdes Vektorraumes aller Hauptteile. Unendliche Summen dieser Potenzen sind keine Hauptteile.

Für einen Punkt ist der Hauptteil einer meromorphen Funktion ${\displaystyle {}f}$ in diesem Punkt genau dann ${\displaystyle {}0}$, wenn ${\displaystyle {}f}$ in diesem Punkt keinen Pol besitzt. Da die Polstellen einer meromorphen Funktion diskret sind, ist die Hauptteilverteilung einer meromorphen Funktion eine Hauptteilverteilung im Sinne der folgenden Definition.

Der Hauptteil ${\displaystyle {}T_{P}}$ wird dabei durch eine in einer offenen Umgebung von ${\displaystyle {}P}$ definierten meromorphen Funktion oder durch ${\displaystyle {}\sum _{n=k}^{-1}c_{n}z^{n}}$ mit einem lokalen Parameter${\displaystyle {}z}$ um ${\displaystyle {}P}$ repräsentiert. Man kann eine Hauptteilverteilung auch so auffassen, dass überhaupt jedem Punkt ein Hauptteil zugeordnet wird, wobei aber außerhalb einer diskreten Menge die Hauptteile gleich ${\displaystyle {}0}$ sind. Die Punkte, in denen eine Hauptteilverteilung ${\displaystyle {}\neq 0}$ ist, nennt man auch den Träger der Hauptteilverteilung. Statt von einer Hauptteilverteilung spricht man auch von einer Mittag-Leffler-Verteilung.

Wenn man einer jeden offenen Menge ${\displaystyle {}U}$ die Menge aller möglichen Hauptteilverteilungen auf ${\displaystyle {}U}$ zuordnet, so erhält man eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${\displaystyle {}X}$, sieheAufgabe 18.14.Diese Garbe bezeichnen wir mit ${\displaystyle {}{\mathcal {T}}}$. Bei der Restriktionsabbildung werden punktweise die Hauptteile übernommen bzw. weggelassen, wenn der Punkt nicht zur kleineren offenen Menge gehört.

Lemma  

Auf einerriemannschen Fläche

liegt einekurze exakte SequenzvonGarben von kommutativen Gruppen

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {T}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

vor, wobei ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}}$ die Strukturgarbeder holomorphen Funktionen, ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}}$ die Garbe dermeromorphen Funktionenund ${\displaystyle {}{\mathcal {T}}}$ die Garbe der Hauptteilverteilungenbezeichnet.

Beweis  

Bei der Abbildung rechts wird natürlich einer meromorphen Funktion auf${\displaystyle {}U\subseteq X}$ihre Hauptteilverteilung zugeordnet. Dabei gehen holomorphe Funktionen auf ${\displaystyle {}0}$. Es ist also lediglich zu zeigen, dass die Quotientengarbe${\displaystyle {}{\mathcal {M}}/{\mathcal {O}}_{X}}$ unter dieser induzierten Zuordnung zur Garbe der Hauptteilverteilungen isomorph ist. Eine meromorphe Funktion, deren Hauptteilverteilung ${\displaystyle {}0}$ ist, besitzt keinen Pol und ist daher holomorph, was die Injektivität sichert. Die Surjektivität (im Garbensinn)kann man punktweise testen und beruht darauf, dass jeder Hauptteil in einem Punkt in einer geeigneten Kreisscheibe durch eine meromorphe Funktion auf der Kreisscheibe repräsentiert wird.

${\displaystyle \Box }$

Es sei betont, dass nicht jede globale Hauptteilverteilung von einer meromorphen Funktion herrührt. In der Tat ist die Frage, welche Hauptteilverteilungen von einer meromorphen Funktion herrühren und welche nicht, ein wichtiges Motiv zur Einführung der Kohomologie.

Meromorphe Differentialformen

Die meromorphen Differentialformen bilden eineGarbeauf ${\displaystyle {}X}$, die wir mit ${\displaystyle {}{{\mathcal {M}}^{(1)}}}$ bezeichnen.

Bemerkung  

Die Ableitung${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}(U)\longrightarrow \Omega _{X}(U)}$, ${\displaystyle {}f\longmapsto df}$lässt sich fortsetzen zur Ableitung

${\displaystyle d\colon {\mathcal {M}}{\left(U\right)}\longrightarrow {{\mathcal {M}}^{(1)}}{\left(U\right)},\,f\longmapsto df.}$

Hierbei wird lokal der meromorphen Funktion ${\displaystyle {}f}$ die meromorphe Differentialform ${\displaystyle {}f'dz}$ zugeordnet. Diese Ableitung ist wieder ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-linear und ein Garbenhomomorphismus, aber kein Modulhomomorphismus. Zu einer globalen meromorphen Differentialform ${\displaystyle {}\omega }$ (für die Existenz vergleicheSatz 26.2)erhält man einen Garbenhomomorphismus

${\displaystyle {\mathcal {M}}{\left(U\right)}\longrightarrow {{\mathcal {M}}^{(1)}}{\left(U\right)},\,f\longmapsto f\omega .}$

Da lokal ein Isomorphismus vorliegt, handelt es sich um einen Isomorphismus. Es liegt also eine nichtkanonische Isomorphie vor. Insbesondere kann man bei einer gegebenen meromorphen Form${\displaystyle {}\omega \neq 0}$jede weitere meromorphe Form ${\displaystyle {}\omega '}$ als

${\displaystyle {}\omega '=f\omega \,}$

mit einer eindeutig bestimmten meromorphen Funktion ${\displaystyle {}f}$ schreiben. Für nichtkonstante meromorphe Funktionen ${\displaystyle {}g,h}$ gibt es insbesondere eine Beziehung

${\displaystyle {}dg=fdh\,}$

mit einer meromorphen Funktion ${\displaystyle {}f}$. Nicht jede meromorphe Differentialform kann man als ${\displaystyle {}df}$ mit einer meromorphen Funktion schreiben, sieheAufgabe 18.17.

Holomorphe Differentialformen sind insbesondere meromorphe Differentialformen, wir haben also die Untergarbenbeziehung${\displaystyle {}\Omega _{X}\subseteq {{\mathcal {M}}^{(1)}}}$.Dies erlaubt neben der Einbettung von holomorphen Differentialformen in reell-differenzierbare ${\displaystyle {}1}$-Formen eine weitere Auflösungsmöglichkeit für die holomorphen Differentialformen. In einem Punkt${\displaystyle {}P\in X}$gilt

${\displaystyle {}{{\mathcal {M}}^{(1)}}_{P}/\Omega _{X,P}\cong {\mathcal {M}}_{P}/{\mathcal {O}}_{X,P}\cong {\mathcal {T}}_{P}\,,}$

der Quotientenmodul ist also in einem Punkt isomorph zum Hauptteilmodul in diesem Punkt. Um mit natürlichen Abbildungen zu arbeiten und falsche Identifizierungen zu vermeiden sollte man in diesem Kontext die Hauptteilverteilungen stets punktweise durch ${\displaystyle {}[\omega ]}$ mit einer meromorphen Differentialform ${\displaystyle {}\omega }$ aus ${\displaystyle {}{{\mathcal {M}}^{(1)}}_{P}}$ repräsentieren oder in der Form ${\displaystyle {}\sum _{n=k}^{-1}c_{n}z^{n}dz}$ mit einem lokalen Parameter ${\displaystyle {}z}$ in ${\displaystyle {}P}$. Die zugehörige Garbe bezeichnen wir mit${\displaystyle {}{{\mathcal {T}}^{(1)}}}$, sie ist isomorph zur Garbe der Hauptteilverteilungen.

Lemma

Auf einerriemannschen Fläche

liegt einekurze exakte SequenzvonGarben

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {M}}^{(1)}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

vor.

Beweis

SieheAufgabe 18.19.

${\displaystyle \Box }$

Beispiel  

Auf der projektiven Geraden${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$ ist ${\displaystyle {}z^{-1}dz}$ eine globalemeromorphe Differentialform.Es sei${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}=U\cup V}$die Standardüberdeckung. Auf ${\displaystyle {}U\setminus \{0\}}$ ist die Form holomorph, im Nullpunkt hat sie einen Pol der Ordnung ${\displaystyle {}1}$. Auf ${\displaystyle {}V}$ mit dem lokalen Parameter${\displaystyle {}w=z^{-1}}$ ist

${\displaystyle {}z^{-1}dz=wdw^{-1}=w{\left(-{\frac {1}{w^{2}}}\right)}dw=-w^{-1}dw\,,}$

im unendlich fernen Punkt liegt also auch ein Pol der Ordnung ${\displaystyle {}1}$ vor. Diese Form definiert im Sinne von Lemma 18.15die Differentialform-Hauptteilverteilung mit dem Träger ${\displaystyle {}\{0,\infty \}}$ und den Werten ${\displaystyle {}z^{-1}dz}$ in ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}-w^{-1}dw}$ in ${\displaystyle {}\infty }$. Diese Verteilung rührt wie gezeigt von einer globalen meromorphen Form her. Dagegen rührt die Verteilung, die allein im Punkt ${\displaystyle {}0}$ den Wert ${\displaystyle {}z^{-1}dz}$ besitzt, nicht von einer globalen meromorphen Form her(dies folgt auch sofort ausSatz 17.13).Eine solche müsste nämlich auf ${\displaystyle {}V}$ eine holomorphe Differentialform sein, also von der Form ${\displaystyle {}hdw}$ mit einer holomorphen ganzen Funktion auf${\displaystyle {}V\cong {\mathbb {C} }}$,sagen wir

${\displaystyle {}hdw=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}dw\,}$

Doch eine solche Form hat, wie die Transformation mit${\displaystyle {}w=z^{-1}}$zeigt, in${\displaystyle {}0\in U}$einen Pol der Ordnung ${\displaystyle {}\geq 2}$. Die Verteilung wiederum, die allein im Punkt ${\displaystyle {}0}$ den Wert ${\displaystyle {}z^{-2}dz}$ besitzt, rührt von ebendieser meromorphen Form her, da

${\displaystyle {}z^{-2}dz=w^{2}dw^{-1}=-dw\,}$

eine holomorph Differentialform ist.

Definition  

Zu einermeromorphen Differentialform${\displaystyle {}\omega }$ auf einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ und einem Punkt${\displaystyle {}P\in X}$mit einer lokalen Beschreibung${\displaystyle {}\omega =fdz}$(wobei ${\displaystyle {}z}$ ein lokaler Parameterund ${\displaystyle {}f}$ einemeromorphe Funktionist)nennt man dasResiduumvon ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}P}$ dasResiduum der Differentialform in ${\displaystyle {}P}$. Es wird mit ${\displaystyle {}\operatorname {Res} _{P}\left(\omega \right)}$ bezeichnet.

Eine holomorphe Differentialform nennt man auch(meromorphe)Differentialform erster Gattung. Darüber hinaus gibt es die folgenden Sprechweisen.

Definition  

Einemeromorphe Differentialform${\displaystyle {}\omega }$ auf einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ heißtDifferentialform zweiter Gattung, wenn alle ihre Residuen${\displaystyle {}\operatorname {Res} _{P}\left(\omega \right)}$ für${\displaystyle {}P\in X}$ gleich ${\displaystyle {}0}$ sind.

Definition  

Einemeromorphe Differentialform${\displaystyle {}\omega }$ auf einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ heißtDifferentialform dritter Gattung, wenn sie höchstens Pole der Ordnung ${\displaystyle {}1}$ besitzt.

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