Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 19

Es sei${\displaystyle {}f\neq 0}$einemeromorphe Funktionauf einerzusammenhängendenriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ genau dannholomorphist, wenn derHauptdivisor${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(f\right)}}$ effektivist.

Es sei${\displaystyle {}f\neq 0}$einemeromorphe Funktionauf einerkompaktenzusammenhängendenriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$. Es sei

${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}\,}$

derHauptdivisorzu ${\displaystyle {}f}$. Zeige, dass die Anzahl von ${\displaystyle {}I}$ gleich derBlätterzahlder nachSatz 18.6zu ${\displaystyle {}f}$ gehörenden holomorphen Abbildung

${\displaystyle X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$

ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einezusammenhängenderiemannsche Flächemit dem Körper ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}{\left(X\right)}}$ dermeromorphen Funktionen.Zeige, dass die Zuordnung

${\displaystyle {\mathcal {M}}{\left(X\right)}^{\times }\longrightarrow \operatorname {Div} \,(X),\,f\longmapsto \operatorname {div} {\left(f\right)},}$

einGruppenhomomorphismusist.

Wann sind dieDivisorengruppen${\displaystyle {}\operatorname {Div} {\left(X\right)}}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {Div} {\left(Y\right)}}$zu zweiriemannschen Flächen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$isomorph?

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche.Zeige, dass durch die Zuordnung

${\displaystyle U\longmapsto \operatorname {Div} {\left(U\right)}}$

eineGarbe von kommutativen Gruppenauf ${\displaystyle {}X}$ gegeben ist.

Es sei ${\displaystyle {}{{\mathcal {D}}iv}_{X}}$ dieGarbe der Divisorenauf einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. ${\displaystyle {}{{\mathcal {D}}iv}_{X}}$ ist im Allgemeinen nichtwelk.
2. Für jeden Punkt${\displaystyle {}P\in X}$und jede offene Umgebung${\displaystyle {}P\in U}$ist die Abbildung

   ${\displaystyle \Gamma {\left(U,{{\mathcal {D}}iv}_{X}\right)}\longrightarrow {{\mathcal {D}}iv}_{X,P}}$

   surjektiv.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einezusammenhängenderiemannsche Fläche.Zeige, dass eine kurze exakte Garbensequenz

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {\operatorname {div} {\left(-\right)}}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {D}}iv}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

vorliegt, wobei in der Mitte die Garbe dermeromorphen Funktionen${\displaystyle {}\neq 0}$ und rechts die Garbe der Divisorensteht.

Zeige, dass auf einerzusammenhängendenkompaktenriemannschen Flächeder exakte Komplex

${\displaystyle 1\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathcal {M}}{\left(X\right)}^{\times }\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(X\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(X\right)}\longrightarrow 0}$

vorliegt.

Zeige, dass zu einer nichtkonstantenholomorphen Abbildung${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$zwischenzusammenhängendenriemannschen Flächen${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$der Rückzug von DivisoreneinGruppenhomomorphismusist.

Es seien${\displaystyle {}\varphi \colon X\rightarrow Y}$und${\displaystyle {}\psi \colon Y\rightarrow Z}$nichtkonstanteholomorphe Abbildungenzwischenzusammenhängendenriemannschen Flächen${\displaystyle {}X,Y}$ und ${\displaystyle {}Z}$.Zeige, dass für denRückzug von Divisorendie Beziehung

${\displaystyle {}(\psi \circ \varphi )^{*}D=\varphi ^{*}(\psi ^{*}D)\,}$

gilt.

Zeige, dass auf einerkompaktenriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ derGradeinenGruppenhomomorphismus

${\displaystyle \operatorname {Div} {\left(X\right)}\longrightarrow \mathbb {Z} }$

definiert.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche Fläche.Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}X}$ ist biholomorphzurprojektiven Geraden.
2. Die Divisorenklassengruppevom Grad ${\displaystyle {}0}$ ist trivial.
3. Je zwei Punkte${\displaystyle {}P\neq Q}$sind zueinanderlinear äquivalent
4. Es gibt zwei Punkte${\displaystyle {}P\neq Q}$,die zueinander linear äquivalent sind.