Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 3

Gittermaße

Als weiteres diskretes Maß besprechen wir Gittermaße.

Definition

Es sei ${}\epsilon >0$ Die Menge

{}\Gamma _{\epsilon }={\left\{\epsilon (a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,

nennt man das Gitter zum Gitterpunktabstand ${}\epsilon$ . Das durch

{}\mu _{\epsilon }(T)=\epsilon ^{n}\cdot {\#\left(T\cap \Gamma _{\epsilon }\right)}\,

für ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definierte Maß heißt das Gittermaß zum Gitterabstand ${}\epsilon$ .

Ausschöpfungseigenschaften

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}T_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ ,eine Folge von Teilmengen in ${}M$ mit ${}T_{n}\subseteq T_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ .Es sei ${}T=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ .Dann sagt man, dass diese Folge eine Ausschöpfung von ${}T$ bildet(oder ${}T$ ausschöpft),und schreibt dafür ${}T_{n}\uparrow T$ .

Der ${}\mathbb {R} ^{k}$ wird beispielsweise durch die Bälle ${}B\left(0,n\right)$ oder die Würfel ${}[-n,n]^{k}$ ausgeschöpft.

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}T_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ ,eine Folge von Teilmengen in ${}M$ mit ${}T_{n}\supseteq T_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Es sei ${}T=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ . Dann sagt man, dass diese Folge eine Schrumpfung von ${}T$ bildet(oder gegen ${}T$ schrumpft),und schreibt dafür ${}T_{n}\downarrow T$ .

Beispielsweise ist eine reelleIntervallschachtelungeine Schrumpfung, bei der der Durchschnitt über alle beteiligten Mengen nur aus einem einzigen Punkt besteht.

Bei einer ${}\sigma$ -Algebra ${}{\mathcal {A}}$ gehört mit einer jeden solchen auf- oder absteigenden Folge von Teilmengen ${}T_{n}$ auch die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zu ${}{\mathcal {A}}$ . Bei einem Prämaß auf einen Präring setzen wir, wenn wir von Ausschöpfung bzw. Schrumpfung sprechen, voraus, dass die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zum Präring gehören.

Wir fassen einige Rechenregeln für Prämaße zusammen.

Lemma

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ einPräringauf ${}M$ und ${}\mu$ einPrämaßauf ${}{\mathcal {P}}$ .

Dann gelten folgende Aussagen.

Es ist ${}\mu (\emptyset )=0$ .
Für Mengen ${}S,T\in {\mathcal {P}}$ mit ${}S\subseteq T$ gilt ${}\mu (T)=\mu (S)+\mu (T\setminus S)$ . Insbesondere ist ein Prämaß monoton.
Für Mengen ${}S,T\in {\mathcal {P}}$ gilt ${}\mu (T\cup S)=\mu (S)+\mu (T)-\mu (S\cap T)$ .
Seien ${}T_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ ,und ${}T$ aus ${}{\mathcal {P}}$ mit ${}T\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ ^[1]Dann gilt
${}\mu (T)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (T_{n})\,.$
Es sei ${}T_{n}\uparrow T$ eine Ausschöpfungin ${}{\mathcal {P}}$ . Dann ist
${}\mu (T)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})\,,$
wobei diese Folge monoton wachsendist.
Es sei ${}T_{n}\downarrow T$ eine Schrumpfungin ${}{\mathcal {P}}$ und sei ${}\mu (T_{0})<\infty$ vorausgesetzt. Dann ist
${}\mu (T)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})\,,$
wobei diese Folge monoton fallendist.

Beweis

(1) ist in der Definition vonPrämaßenthalten, da die leere Summe als ${}0$ definiert ist.^[2]
(2) folgt direkt aus der Definition, da ${}T$ die disjunkte Vereinigungaus ${}S$ und ${}T\setminus S$ ist.
(3) folgt daraus, dass ${}S\cup T$ die disjunkte Vereinigung aus den drei Mengen ${}S\setminus T,\,T\setminus S$ und ${}S\cap T$ ist.
(4). Wir verwenden den folgenden Standardtrick: Wir schreiben ${}S_{n}=T_{n}\setminus {\left(\bigcup _{i=0}^{n-1}T_{i}\right)}$ .Dann gilt offensichtlich ${}\bigcup _{i=0}^{n}T_{i}=\bigcup _{i=0}^{n}S_{i}$ für alle ${}n$ , wobei die Vereinigungen der ${}S_{i}$ jeweils disjunkt sind. Entsprechned Damit gilt

{}{\begin{aligned}\mu (T)&=\mu {\left(T\cap {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}\right)}\right)}\\&=\mu {\left(T\cap {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S_{n}\right)}\right)}\\&=\mu {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T\cap S_{n}\right)}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(T\cap S_{n}\right)}\\&\leq \sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(S_{n}\right)}\\&\leq \sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(T_{n}\right)}.\end{aligned}}

(5). Wir schreiben die einzelnen Teilmengen ${}T_{n}$ als disjunkte Vereinigung mittels ${}S_{0}=T_{0}$ und ${}S_{n}=T_{n}\setminus T_{n-1}$ .Damit ist

{}T_{n}=S_{0}\cup S_{1}\cup \ldots \cup S_{n}\,,

und da dies eine disjunkte Vereinigung ist, gilt ${}\mu (T_{n})=\sum _{i=0}^{n}\mu (S_{i})$ .Entsprechend gilt

{}T=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\,

und daher

{}\mu (T)=\mu {\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)}=\sum _{i=0}^{\infty }\mu (S_{i})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\sum _{i=0}^{n}\mu (S_{i})\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu {\left(T_{n}\right)}\,.

(6) Wir setzen ${}S_{0}=T_{0}\setminus T_{n}$ . Da ${}T_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ ,eine absteigende Folge ist, ist ${}S_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ ,eine aufsteigende Folge, und zwar gilt

{}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S_{n}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\left(T_{0}\setminus T_{n}\right)}=T_{0}\setminus {\left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}\right)}=T_{0}\setminus T\,.

Daher gilt

{}\mu {\left(T_{0}\setminus T\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu {\left(T_{0}\setminus T_{n}\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }(\mu {\left(T_{0})-\mu (T_{n})\right)}=\mu (T_{0})-\lim _{n\rightarrow \infty }\mu {\left(T_{n}\right)}\,

nach Teil (5). Somit ist(da ${}\mu (T_{0})<\infty$ ist)

{}\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})=\mu (T_{0})-\mu (T_{0}\setminus T)=\mu (T)\,.

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Definition

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präringauf ${}M$ ,

\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}

einPrämaßauf ${}M$ . Dann heißt ${}\mu$ endlich, wenn

{}\mu (T)<\infty \,

für alle ${}T\in {\mathcal {P}}$ ist.

Wenn die Gesamtmenge ${}M$ zu ${}{\mathcal {P}}$ gehört, so ergibt sich die Endlichkeit des Prämaßes sofort aus der Bedingung ${}\mu (M)<\infty$ aufgrund der Monotonie.

Für die Maßtheorie des euklidischen Raumes ist dieser Begriff zu stark, da ja der ${}\mathbb {R} ^{n}$ kein endliches Volumen hat. Aber immerhin kann man den ${}\mathbb {R} ^{n}$ durch die abzählbar vielen Kugeln ${}B\left(0,k\right)$ , ${}k\in \mathbb {N}$ , die selbst endliches Volumen haben, ausschöpfen. Diese Eigenschaft wird durch folgende Definition präzisiert.

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präringauf ${}M$ ,

\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}

einPrämaßauf ${}M$ . Dann heißt ${}\mu$ ${}\sigma$ -endlich, wenn man ${}M$ als eine abzählbare Vereinigungvon Teilmengen ${}M_{i}$ aus ${}{\mathcal {P}}$ mit

{}\mu (M_{i})<\infty \,

schreiben kann.

Der Eindeutigkeitssatz für Maße

Der folgende Satz ist der Eindeutigkeitssatz für Maße. Im Wesentlichen besagt er, dass unter gewissen Bedingungen ein Maß auf einem Erzeugendensystem der ${}\sigma$ -Algebra schon eindeutig bestimmt ist.

Satz

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ einMessraumund es sei ${}{\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystemfür ${}{\mathcal {A}}$ .Es seien ${}\mu _{1}$ und ${}\mu _{2}$ zweiMaßeauf ${}(M,{\mathcal {A}})$ , die auf ${}{\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung ${}M_{n}\uparrow M$ mit ${}M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit

{}\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty \,.

Dann ist

${}\mu _{1}=\mu _{2}\,.$

Beweis

Für jede messbare Menge ${}T\in {\mathcal {A}}$ ist ${}(T\cap M_{n})\uparrow T$ eine Ausschöpfungvon ${}T$ , so dass es nachLemma 3.4 (5)genügt, die Gleichheit

{}\mu _{1}(T\cap M_{n})=\mu _{2}(T\cap M_{n})\,

für alle ${}T\in {\mathcal {A}}$ und alle ${}n\in \mathbb {N}$ zu zeigen. Es sei ${}n$ fixiert. Wir betrachten das Mengensystem

{}{\mathcal {D}}_{n}={\left\{T\in {\mathcal {A}}\mid \mu _{1}(T\cap M_{n})=\mu _{2}(T\cap M_{n})\right\}}\,

und wir wollen zeigen, dass dies ganz ${}{\mathcal {A}}$ ist. Da ${}{\mathcal {E}}$ durchschnittstabil ist, gehört nach Voraussetzung jede Menge ${}E\in {\mathcal {E}}$ zu ${}{\mathcal {D}}_{n}$ .Wir behaupten, dass ${}{\mathcal {D}}_{n}$ einDynkin-Systemist. Offenbar ist ${}M\in {\mathcal {D}}_{n}$ . Seien ${}S\subseteq T$ Teilmengen, die zu ${}{\mathcal {D}}_{n}$ gehören. Dann ist

{}{\begin{aligned}\mu _{1}{\left((T\setminus S)\cap M_{n}\right)}&=\mu _{1}{\left({\left(T\cap M_{n}\right)}\setminus {\left(S\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{1}(T\cap M_{n})-\mu _{1}(S\cap M_{n})\\&=\mu _{2}(T\cap M_{n})-\mu _{2}(S\cap M_{n})\\&=\mu _{2}{\left({\left(T\cap M_{n}\right)}\setminus {\left(S\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{2}((T\setminus S)\cap M_{n}),\end{aligned}}

so dass auch ${}T\setminus S$ zu ${}{\mathcal {D}}_{n}$ gehört. Es sei schließlich ${}T_{i}$ , ${}i\in I$ ,eine abzählbare Familie paarweise disjunkterTeilmengen aus ${}{\mathcal {D}}_{n}$ , und sei

{}T=\bigcup _{i\in I}T_{i}\,.

Dann ist

{}{\begin{aligned}\mu _{1}{\left(T\cap M_{n}\right)}&=\mu _{1}{\left(\bigcup _{i\in I}(T_{i}\cap M_{n})\right)}\\&=\sum _{i\in I}\mu _{1}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\\&=\sum _{i\in I}\mu _{2}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\\&=\mu _{2}{\left(\bigcup _{i\in I}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{2}{\left(T\cap M_{n}\right)},\end{aligned}}

so dass auch ${}T$ zu ${}{\mathcal {D}}_{n}$ gehört.
Damit ist ${}{\mathcal {D}}_{n}$ ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem ${}{\mathcal {E}}$ enthält. NachLemma 1.13ist daher ${}{\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {D}}_{n}$ , und es gilt Gleichheit.

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Bildmaße

Definition

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, ${}(N,{\mathcal {B}})$ einMessraumund

\varphi \colon M\longrightarrow N

einemessbare Abbildung.Dann nennt man das durch

{}\nu (T):=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,

definierteMaßauf ${}N$ das Bildmaß von ${}\mu$ unter ${}\varphi$ . Es wird mit ${}\varphi _{*}\mu$ bezeichnet.

Das Bildmaß ist in der Tat ein Maß, sieheAufgabe 3.11.

Beispiel

Es sei

\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto 10^{x},

die Exponentialfunktion zur Basis ${}10$ und ${}\nu$ dasBildmaßzum eindimensionalen Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{1}$ (das wir zwar noch nicht eingeführt haben, von dem wir hier aber nur verwenden, dass es einem Intervall die Intervallänge zuordnet). Für ein Intervall ${}[a,b]\subseteq \mathbb {R} _{+}$ ist

{}\nu ([a,b])=\lambda ^{1}(\varphi ^{-1}([a,b]))=\lambda ^{1}([\operatorname {log} _{10}^{}{\left(a\right)},\operatorname {log} _{10}^{}{\left(b\right)}])=\operatorname {log} _{10}^{}{\left(b\right)}-\operatorname {log} _{10}^{}{\left(a\right)}\,.

Insbesondere haben die Intervalle

\ldots ,[{\frac {1}{100}},{\frac {1}{10}}],\,[{\frac {1}{10}},1],\,[1,10],\,[10,100],\,[100,1000],\ldots

unter

{}\nu

alle das Maß

{}1

. Das Maß

{}\nu

ist also „unter Berücksichtigung der Größenordnung gleichverteilt“.

Wenn man zur Menge aller Städte(auf der Erde oder in Deutschland)die Einwohnerzahl nimmt und davon die erste Ziffer, so kann man beobachten, dass die Ziffer ${}1$ deutlich häufiger vorkommt als die Ziffern ${}2,3,\ldots$ . Beispielsweise gibt es in Deutschland relativ viele Städte mit zwischen ${}100000$ und ${}200000$ Einwohnern, aber keine mit zwischen ${}800000$ und ${}900000$ Einwohnern. Diese Beobachtung kann man in sehr vielen verschiedenen Situationen machen, und zwar genügt die erste Ziffer dem sogenannnten Benfordschen Gesetz. Wenn man davon ausgeht, dass Städte zu unterschiedlichen Zeitpunkten gegründet werden, dass sie exponentiell wachsen(mit einer kleinen Basis),und dass die Verteilung der Stadtgründungen mit der Zeit gleichverteilt ist(in einem endlichen Zeitintervall),so kann man die Stadtgründungen durch ${}\lambda ^{1}$ modellieren und erhält für die Verteilung der Stadtgrößen das Maß ${}\nu$ (bis auf einen Streckungsfaktor mit der Zeit).Es ist dann beispielsweise

{}\nu ([1,2])=\operatorname {log} _{10}^{}{\left(2\right)}=0,301\ldots \,

und

{}\nu ([8,9])=\operatorname {log} _{10}^{}{\left(2\right)}=0,051\ldots \,

und entsprechend für die Intervalle ${}[10,20]$ , ${}[100,200]$ , etc., was das Benfordsche Gesetz erklärt.

Lemma

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}})$ , ${}(N,{\mathcal {B}})$ und ${}(S,{\mathcal {C}})$ Messräume und

\varphi \colon M\longrightarrow N

und

\psi \colon N\longrightarrow S

messbare Abbildungen. Es sei ${}\mu$ einMaß auf ${}M$ .

Dann gilt für die Bildmaße

${}(\psi \circ \varphi )_{*}\mu =\psi _{*}(\varphi _{*}\mu )\,.$

Beweis

SieheAufgabe 3.12.

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Definition

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ Maßräume.Einemessbare Abbildung

\varphi \colon M\longrightarrow N

heißt maßtreu, wenn für jede messbare Menge ${}T\subseteq N$ die Beziehung

{}\nu (T)=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,

gilt.

Eine messbare Abbildung ${}\varphi \colon (M,{\mathcal {A}},\mu )\rightarrow (N,{\mathcal {B}},\nu )$ ist genau dann maßtreu, wenn ${}\nu$ das Bildmaß von ${}\mu$ unter ${}\varphi$ ist.

Produkt von topologischen Räumen

Definition

Unter dem Produkt der topologischen Räume ${}X$ und ${}Y$ versteht man die Produktmenge ${}X\times Y$ zusammen mit derjenigen Topologie(genannt Produkttopologie),bei der eine Teilmenge ${}W\subseteq X\times Y$ genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form ${}U\times V$ mit offenen Mengen ${}U\subseteq X$ und ${}V\subseteq Y$ schreiben kann.

Fußnoten

↑ Man sagt, dass die ${}T_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ ,eine Überpflasterung von ${}T$ bilden.
↑ Man kann auch, sobald es eine messbare Menge ${}T$ mit endlichem Maß gibt, mittels ${}\mu (T)=\mu (T\cup \emptyset )=\mu (T)+\mu (\emptyset )$ argumentieren, woraus aus ${}\mu (T)<\infty$ direkt ${}\mu (\emptyset )=0$ folgt.

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[1] Man sagt, dass die ${}T_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ ,eine Überpflasterung von ${}T$ bilden.

[2] Man kann auch, sobald es eine messbare Menge ${}T$ mit endlichem Maß gibt, mittels ${}\mu (T)=\mu (T\cup \emptyset )=\mu (T)+\mu (\emptyset )$ argumentieren, woraus aus ${}\mu (T)<\infty$ direkt ${}\mu (\emptyset )=0$ folgt.

[1]

[2]